第一部分 数字 2
第1章 自然数 2
1.1 自然数的公理化定义 3
1.2 使用皮亚诺归纳法 6
第2章 整数 8
2.1 什么是整数 8
2.2 自然地构造整数 10
第3章 实数 14
3.1 实数的非正式定义 14
3.2 实数的公理化定义 17
3.3 实数的构造性定义 20
第4章 无理数与超越数 23
4.1 什么是无理数 23
4.2 聚焦无理数 24
4.3 无理数和超越数有什么意义，为什么它们很重要 26
第二部分 有趣的数字 30
第5章 零 30
5.1 零的历史 30
5.2 一个令人生厌的困难数字 33
第6章 e：不自然的自然数 36
6.1 无处不在的数字 36
6.2 e的历史 38
6.3 e有什么含义 39
第7章 φ：黄金比例 41
7.1 什么是黄金比例 42
7.2 荒唐的传奇 44
7.3 黄金比例真正存在的地方 46
第8章 i：虚数 48
8.1 i的起源 48
8.2 i是做什么的 50
8.3 i有什么意义 51
第三部分 书写数字 56
第9章 罗马数字 56
9.1 进位系统 56
9.2 这场混乱来自哪里 58
9.3 计算很简单（但是算盘更简单） 59
9.4 传统的过失 63
第10章 埃及分数 66
10.1 一场4000年前的数学考试 66
10.2 斐波那契的贪婪算法 67
10.3 有时美胜过实用 69
第11章 连分数 70
11.1 连分数简介 71
11.2 更干净，更清晰，纯粹是为了好玩 73
11.3 作计算 75
第四部分 逻辑 80
第12章 斯波克先生与不符合逻辑 80
12.1 什么是真正的逻辑 82
12.2 一阶谓词逻辑 83
12.3 展示一些新东西 88
第13章 证明、真理和树 93
13.1 用树来建立简单的证明 94
13.2 零基础的证明 96
13.3 家族关系的例子 98
13.4 分支证明 100
第14章 使用逻辑编程 103
14.1 计算家族关系 104
14.2 使用逻辑计算 109
第15章 时序推理 118
15.1 随时间变化的命题 119
15.2 CTL擅长什么 124
第五部分 集合 128
第16章 康托尔对角化：无穷不仅是无穷 128
16.1 朴素的集合 128
16.2 康托尔对角化 132
16.3 不要保持简单和直接 136
第17章 公理化集合论：取其精华，去其糟粕 139
17.1 ZFC集合论公理 140
17.2 疯狂的选择 147
17.3 为什么 150
第18章 模型：用集合作为搭建数学世界的积木 151
18.1 构建自然数 152
18.2 从模型到模型：从自然数到整数，以及超越 154
第19章 超限数：无限集的计数和排序 158
19.1 超限基 158
19.2 连续统假设 160
19.3 无限何在 161
第20章 群论：用集合寻找对称性 164
20.1 费解的对称性 164
20.2 不同的对称性 168
20.3 走入历史 170
20.4 对称性之源 172
第六部分 机械化数学 178
第21章 有限状态机：从简单机器开始 178
21.1 最简单的机器 178
21.2 实际使用的有限状态机 182
21.3 跨越鸿沟：从正则表达式到机器 185
第22章 图灵机 192
22.1 添加磁带让一切都变得不同 193
22.2 变元：模仿机器的机器 198
第23章 计算的核心与病态 204
23.1 BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的 206
23.2 图灵完备还是毫无意义 209
23.3 从庄严到荒谬 210
第24章 微积分：不是那个微积分，是λ演算 213
24.1 写λ演算：几乎就是编程 214
24.2 求值：运行 218
24.3 编程语言与λ策略 221
第25章 数字、布尔运算和递归 224
25.1 λ演算是图灵完备的吗 224
25.2 计算自身的数字 225
25.3 决定？回到Church 228
25.4 递归 231
第26章 类型，类型，类型：对λ演算建模 238
26.1 类型简介 239
26.2 证明 244
26.3 类型擅长什么 246
第27章 停机问题 248
27.1 一个杰出的失败 249
27.2 是否停机 251
参考文献 256