第十五章 曲线积分·斯底尔吉斯积分 1
1.第一型曲线积分 1
517.第一型曲线积分的定义 1
518.约化为普通定积分 3
519.例 5
2.第二型曲线积分 10
520.力场中功的问题 10
521.第二型曲线积分的定义 12
522.第二型曲线积分的存在与计算 15
523.闭路的情形·平面的定向 18
524.例 20
525.用取在折线上的积分的逼近法 25
526.用曲线积分计算面积 26
527.例 30
528.两不同型曲线积分间的关系 33
529.物理问题 35
3.曲线积分与道路无关的条件 39
530.与全微分相关问题的提出 39
531.与道路无关积分的微分法 40
532.用原函数来计算曲线积分 43
533.确切微分的判别与在矩形区域的情况下原函数的求法 44
534.推广到任意区域的情形 46
535.最终结果 49
536.沿闭路的积分 50
537.非单连区域或有奇点的情形 51
538.高斯积分 56
539.空间的情形 58
540.例 61
541.物理问题的应用 65
4.有界变差函数 68
542.有界变差函数的定义 68
543.有界变差函数类 70
544.有界变差函数的性质 73
545.有界变差函数的判定法 77
546.连续的有界变差函数 79
547.可求长曲线 82
5.斯底尔吉斯积分 86
548.斯底尔吉斯积分的定义 86
549.斯底尔吉斯积分存在的一般条件 87
550.斯底尔吉斯积分存在情况的若干类 88
551.斯底尔吉斯积分的性质 91
552.分部积分法 94
553.化斯底尔吉斯积分为黎曼积分 95
554.斯底尔吉斯积分的计算 97
555.例 102
556.斯底尔吉斯积分的几何解说 108
557.中值定理，估计值 109
558.斯底尔吉斯积分记号下面的极限过程 111
559.例题及补充 113
560.化第二型曲线积分为斯底尔吉斯积分 118
第十六章 二重积分 120
1.二重积分的定义及简单性质 120
561.柱形长条体积的问题 120
562.化二重积分为逐次积分 121
563.二重积分的定义 123
564.二重积分存在的条件 125
565.可积函数类 126
566.下积分及上积分作为极限 129
567.可积函数与二重积分的性质 130
568.积分当作区域的可加函数，对区域的微分法 133
2.二重积分的计算 136
569.在矩形区域的情况下化二重积分为逐次积分 136
570.例 140
571.在曲边区域的情况下化二重积分为逐次积分 150
572.例 153
573.力学应用 167
574.例 169
575.格林公式的推演 177
3.格林公式 177
576.应用格林公式到曲线积分的研究 181
577.例题及补充 182
4.二重积分中的变数更换 185
578.平面区域的变换 185
579.例 188
580.曲线坐标中面积的表示法 193
581.补充说明 196
582.几何推演 198
583.例 200
584.二重积分中的变数更换 209
585.与单积分的相似处，在定向区域上的积分 211
586.例 213
5.广义二重积分 220
587.展布在无界区域上的积分 220
588.广义二重积分的绝对收敛性定理 223
589.化二重积分为逐次积分 225
590.无界函数的积分 228
591.广义积分中的变数更换 230
592.例 232
593.曲面的侧 249
第十七章 曲面面积·曲面积分 249
1.双侧曲面 249
594.例 251
595.曲面和空间的定向 252
596.法线方向余弦公式中符号的选择 254
597.分片光滑曲面的情形 256
2.曲面面积 257
598.许瓦耳兹的例子 257
599.曲面面积的定义 259
600.附注 260
601.曲面面积的存在及其计算 262
602.用内接多面形的接近法 267
603.面积定义的特殊情况 269
604.例 270
3.第一型曲面积分 285
605.第一型曲面积分的定义 285
606.化为寻常的二重积分 286
607.第一型曲面积分在力学上的应用 288
608.例 290
609.第二型曲面积分的定义 297
4.第二型曲面积分 297
610.最简单的特殊情形 299
611.一般情形 302
612.证明的细节 304
613.用曲面积分表立体体积 305
614.斯托克斯公式 310
615.例 312
616.斯托克斯公式在研究空间曲线积分上的应用 318
617.立体质量计算的问题 321
第十八章 三重积分及多重积分 321
1.三重积分及其计算 321
618.三重积分及其存在的条件 322
619.可积函数与三重积分的性质 323
620.展布在平行六面体上的三重积分的计算 325
621.在任何区域上的三重积分的计算 327
622.广义三重积分 329
623.例 329
624.力学应用 337
625.例 338
2.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式 346
626.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式 346
627.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式应用于曲面积分的研究 349
628.高斯积分 350
629.例 352
3.三重积分中的变数更换 355
630.空间的变换及曲线坐标 355
631.例 356
632.曲面坐标下的体积表示法 358
633.补充说明 361
634.几何推演 362
635.例 363
636.三重积分中的变数更换 371
637.例 373
638.立体的吸引力及在内点上的位势 378
4.场论初步 380
639.纯量及向量 380
640.纯量场及向量场 381
641.梯度 381
642.向量通过曲面的流量 383
643.高斯-奥斯特洛格拉斯基公式·发散量 384
644.应用 386
645.向量的循环量·斯托克斯公式·旋度 389
646.应用 391
5.多重积分 394
647.两立体间的引力及位势问题 394
648.n维立体的体积·n重积分 396
649.n重积分中的变数更换 398
650.例 402