第4章 数项级数 1
4.1 数项级数的一般概念和基本性质 1
4.1.1 数项级数及其敛散性的定义 1
4.1.2 数项级数的基本性质 2
习题一(A) 3
4.2 同号级数 4
4.2.1 正项级数的比较判别法 4
4.2.2 正项级数敛散性的检比与检根判别法 5
4.2.3 柯西积分判别法及与P-级数相比较的判别法 7
习题二(A) 11
4.3 一般项级数 12
4.3.1 一般项级数的绝对收敛与条件收敛 12
4.3.2 交错级数收敛性的莱布尼茨(Leibnitz)判别法 13
习题三(A) 16
4.3.3 复数项级数 16
4.4 绝对收敛级数的性质 17
独立作业 20
习题四(A) 22
习题四(B) 23
第5章 含参量积分 24
5.1 含参量的常义积分 24
习题一(A) 28
5.2 含参量的旁义积分 29
5.2.1 一致收敛性及其判别法 29
5.2.2 含参量旁义积分的性质 30
习题二(A) 34
5.3 Г-函数与B-函数 35
5.3.1 Г-函数 35
5.3.1.1 Г-函数的定义 35
5.3.1.2 Г-函数的连续性与可微性 35
5.3.1.3 递推公式 35
5.3.1.4 Г-函数的图像 36
5.3.2 B-函数 37
5.3.2.1 B-函数的定义 37
5.3.2.2 B-函数的连续性与偏导数存在性 37
5.3.2.3 B-函数的其它性质 38
5.3.2.4 Г-函数与B-函数的关系 38
习题三(A) 40
独立作业 41
第6章 幂级数、泰勒级数与洛朗级数 42
6.1 函数项级数 42
6.1.1 函数项级数及其收敛域 42
6.1.2 函数项级数的一致收敛性及其基本性质 43
习题一(A) 46
6.2 幂级数 47
6.2.1 幂级数的收敛域、收敛半径及收敛区间 47
6.2.2 幂级数的运算性质 50
习题二(A) 52
6.3 泰勒级数 52
6.3.1 函数的泰勒级数 53
6.3.2 函数展开为幂级数的方法 54
6.3.2.1 直接求泰勒展开式的方法 54
6.3.2.2 间接展开法 56
习题三(A) 58
6.4 泰勒级数的一些应用 59
6.4.1 几个数的近似计算 59
6.4.2 在积分计算中的应用 61
习题四(A) 63
6.5 数项级数与幂级数杂例 63
6.5.1 级数与数列、压缩映象原理 63
6.5.2 欧拉(Euler)公式的证明 65
6.5.3 隐函数的幂级数表示法 66
6.5.4 其它杂例 66
6.6 洛朗级数与孤立奇点的分类 69
6.6.1 解析函数的概念 69
6.6.1.1 复变函数的导数 69
6.6.1.2 解析函数的概念 69
6.6.2 洛朗(Laurent)级数 70
6.6.3 孤立奇点 74
6.6.3.1 孤立奇点的定义与判别定理 74
6.6.3.2 无穷远孤立奇点 77
习题五(A) 78
独立作业 79
习题六(B) 80
第7章 傅立叶级数与傅立叶积分 82
7.1 连续函数空间C［a，b］上的内积与正交性概念 82
7.2 傅立叶级数 84
7.2.1 以2π为周期的函数的傅立叶级数 84
习题一(A) 90
7.2.2 在区间［0，π］上给定函数的傅氏级数 90
7.2.3 以2l为周期的函数的傅立叶级数 92
7.3 傅氏级数的复数形式 95
习题二(A) 97
7.4 傅立叶级数的收敛性 98
7.4.1 贝塞尔不等式 98
7.4.2 傅立叶级数收敛性定理的证明 100
7.5 傅立叶积分公式 102
独立作业 105
第8章 线性常微分方程、微分方程的近似解 107
8.1 线性微分方程及其解的结构 107
8.1.1 线性齐次微分方程解的结构 107
8.1.2 线性非齐次微分方程解的结构 108
8.2 常系数线性微分方程的解 110
8.2.1 常系数齐次线性方程的通解 110
8.2.2 常系数线性非齐次方程特解的待定系数法 112
8.3 欧拉方程与常系数非齐次方程特解的一个公式 115
8.3.1 欧拉方程 115
8.3.2 常系数二阶线性微分方程特解的一个公式 116
8.4 常系数线性微分方程组的解法 117
8.5 微分方程的幂级数解法 118
8.6 一阶微分方程解的迭代法 119
习题(A) 120
习题(B) 121
独立作业 122
第9章 波动方程的导出、解与定解问题介绍 124
9.1 波动方程及其初始问题 124
9.2 二维与三维波动方程及其初始问题的解的介绍 125
9.3 解的物理意义 127
9.4 偏微分方程的定解问题 128
9.4.1 第一类边界条件 128
9.4.2 第二类边界条件 129
9.4.3 第三类边界条件 129
习题(A) 130
习题(B) 130
习题参考答案 131