第一章 函数 1
1.1 函数概念 1
1. 常量与变量 1
2. 函数的定义 2
3. 函数值 4
4. 分段函数 4
5. 函数的表示法 5
6. 函数的图形 5
习题及其答案 6
1.2 函数的几种特性 7
1. 奇偶性 7
2. 单调性 10
3. 周期性 11
4. 有界性 14
习题及其答案 15
1.3 反函数 16
1. 反函数概念 16
2. 反函数的图形 17
3. 反函数的存在性 18
习题及其答案 19
1.4 初等函数 19
1. 基本初等函数 19
2. 复合函数 24
3. 初等函数 25
4. 有理函数 25
5. 双曲函数 26
习题及其答案 27
自我检查题 27
习题选解 29
自我检查题解答 31
第二章 极限 33
2.1 数列的极限 33
1. 邻域的概念 33
2. 数列的概念 34
3. 数列的极限概念 34
4. <ε-N>定义的几何解释 36
5. 运用<ε-N>定义证明数列的极限举例 37
6. 小结 39
7. 一种错误的思想方法 40
8. 子数列 40
9. 原数列极限与子数列极限的关系 41
10. 数列的有界性 42
习题及其答案 42
2.2 函数极限 44
1. 自变数趋于无限时，函数的极限 44
(1)x→+∞时，函数的极限 44
(2)x→-∞时，函数的极限 46
(3)x→∞时，函数的极限 47
(4)自变数趋于无限的三种情况，函数极限的关系 48
(5)小结 49
习题及其答案 49
2. 自变数趋于有限数时，函数的极限 49
(1)x→x0时，函数的极限 49
(2)x→x0-时，函数的极限 53
(3)x→x0+时，函数的极限 54
(4)自变数趋于有限数的三种情况，函数极限的关系 55
(5)小结 56
3. 用子数列判定函数极限不存在 57
习题及其答案 58
2.3 无穷小和无穷大 59
1. 无穷小 59
(1)无穷小的概念 59
(2)有极限的函数与无穷小的关系 60
(3)无穷小的性质 60
习题及其答案 61
2. 无穷大 62
(1)无穷大的概念 62
(2)<M-δ>定义的几何解释 63
(3)利用<M-δ>定义证明函数为无穷大举例 63
3. 无穷小与无穷大的关系 64
3. 无界函数与无穷大的关系 64
5. 总结 66
习题及其答案 66
习题选解 66
2.4 极限的运算与性质 70
1. 极限的四则运算 70
2. 利用极限运算法则求极限举例 71
3. 极限的性质 77
习题及其答案 79
2.5 极限存在准则 两个重要极限 80
1. 两个极限存在准则 80
2. 利用两个准则证明两个重要极限 81
3. 利用两个重要极限求极限举例 84
4. 利用两个极限存在准则求极限举例 87
习题及其答案 88
2.6 无穷小的比较 89
1. 两个无穷小的比较 89
2. 利用等价无穷小求极限 91
习题及其答案 92
自我检查题 93
习题选解 93
自我检查题解答 102
第三章 连续函数 104
3.1 函数在一点的连续性 104
1. 增量的概念 104
2. 函数在一点连续的概念 105
3. 左、右连续的概念 107
4. 区间连续与连续函数 108
习题及其答案 109
3.2 函数的间断点 间断点分类 110
1. 间断点的概念 110
2. 间断点分类 110
习题及其答案 112
3.3 连续函数的运算 初等函数的连续性 113
1. 连续函数的四则运算 113
2. 基本初等函数的连续性 114
3. 复合函数的连续性 114
4. 初等函数的连续性 115
5. 利用连续性求极限 115
6. 利用复合函数的极限运算定理求极限举例 116
7. 连续函数的保号性 117
习题及其答案 117
3.4 闭区间上连续函数的基本定理 118
1. 零值定理 118
2. 最大最小值定理 119
3. 介值定理 120
习题及其答案 122
自我检查题 123
讨论题 123
习题选解 125
自我检查题解答 127
讨论题解答 128
第四章 导数 131
4.1 导数概念 131
1. 三个实际问题 131
2. 函数在一点的导数概念 133
3. 导数的几何意义 135
习题及其答案 136
4. 左、右导数概念 137
5. 导函数 137
6. 可导与连续的关系 138
7. 函数在一点不可导 139
8. 几个基本初等函数的导数公式 140
习题及其答案 142
4.2 求导的运算法则 143
1. 求导的四则运算法则 143
2. 复合函数求导法则 146
3. 隐函数的概念及隐函数求导法 150
4. 基本初等函数的导数公式和导数运算法则汇集 153
习题及其答案 153
5. 对数求导法 155
6. 初等函数求导小结 156
7. 分段函数求导举例 156
8. 杂例 157
习题及其答案 159
4.3 高阶导数 160
1. 二阶导数的概念 160
2. 二阶导数的力学意义 161
3. 高阶导数 162
习题及其答案 165
4.4 导数的应用举例 166
习题及其答案 168
自我检查题 169
习题选解 169
自我检查题解答 174
第五章 微分 176
5.1 微分的概念 176
1. 为什么要引入微分 176
2. 微分的定义 177
3. 可微与可导的关系 178
4. 微分的几何意义 179
5. 函数不可微 180
习题及其答案 180
5.2 微分的运算法则 微分形式的不变性 181
1. 微分的运算法则 181
2. 微分形式的不变性--复合函数微分法则 182
习题及其答案 184
5.3 微分在近似计算中的应用 185
1. 用线性函数近似代替非线性函数 185
2. 用切线的纵坐标近似代替曲线的纵坐标 186
3. 求一个未知函数的微分 187
习题及其答案 188
5.4 由参数方程所表示的函数的导数 188
习题及其答案 190
讨论题 190
习题选解 192
第一次考试试题 195
讨论题解答 196
第一次考试试题解答 197
第六章 微分学基本定理 200
6.1 罗尔定理 200
习题及其答案 202
6.2 拉格朗日中值定理 203
习题及其答案 207
6.3 柯西中值定理 208
习题及其答案 211
6.4 泰勒中值定理 212
习题及其答案 220
6.5 罗必塔法则 221
习题及其答案 229
6.6 皮亚诺余项的n阶泰勒公式及其应用 230
习题及其答案 232
讨论题 233
自我检查题 234
习题选解 235
讨论题解答 244
自我检查题解答 246
第七章 导数的应用 248
7.1 函数的单调性 248
习题及其答案 252
7.2 函数的极值 253
习题及其答案 259
7.3 函数的最大值和最小值 259
习题及其答案 266
7.4 曲线的凹凸性与拐点 267
习题及其答案 272
7.5 曲线的渐近线 272
习题及其答案 275
7.6 函数图形的描绘 275
习题及其答案 278
7.7 平面曲线的曲率 278
习题及其答案 286
讨论题 286
自我检查题 287
习题选解 287
讨论题解答 294
自我检查题解答 295