目录 1
绪论 1
§1 工程力学与数值方法 1
§2 近似数的表示 2
2.1 似数 2
2.2 绝对误差和相对误差 3
2.3 有效数字 4
§3 近似数的运算 4
3.1 近似数的运算规则 4
3.2 近似数对算法的要求 5
§4 应用举例 8
第一章 代数插值法 9
§1 代数插值的基本理论 9
1.1 代数插值问题 9
1.2 插值多项式存在的唯一性 10
1.3 插值多项式的余项 11
§2 Lagrange插值 13
2.1 线性插值与抛物插值 13
2.2 Lagrange插值 16
§3 逐步线性插值 18
2.3 分段低次插值 18
§4 Hermite插值 23
§5 三次样条插值 29
§6 多元函数的插值 40
6.1 多元函数插值问题 40
6.2 二元线性插值 41
6.3 二元二次插值 42
6.4 二元Lagrange插值 43
§7 应用举例 47
第二章 数据拟合与最小二乘法 55
§1 线性最小二乘拟合 56
§2 正交多项式与最小二乘拟合 61
§3 非线性最小二乘拟合 67
3.1 用变换方法化为线性拟合问题 67
3.2 Gauss-Newton法 69
3.3 改进的Gauss-Newton法 72
§4 多元最小二乘拟合 75
§5 线性矛盾方程组的最小二乘法 77
5.1 求解法方程 78
5.2 正交化方法 80
§6 应用举例 84
第三章 数值积分与数值微分 94
§1 插值求积的基本公式 94
§2 Newton-Cotes公式 96
2.1 Newton-Cotes公式的基本形式 96
2.2 复化求积法 98
2.3 求积公式的误差 101
2.4 变步长Simpson公式 102
3.1 Richardson外推法 105
§3 Romberg积分法 105
3.2 Romberg积分法 107
§4 Gauss型求积公式 111
4.1 求积公式的代数精度 111
4.2 Gauss型求积公式的构造 111
4.3 常用的Gauss型求积公式 118
§5 三次样条求积公式 128
§6 多重积分的数值计算 129
§7 数值微分 136
7.1 插值求导的基本公式 136
7.2 几个常用的数值微分公式 137
7.3 用三次样条插值函数求数值导数 141
§8 应用举例 142
第四章 非线性方程及方程组的解法 148
§1 根的隔离与二分法 148
1.1 根的隔离 148
1.2 二分法 149
§2 迭代法及其加速 151
2.1 一般迭代法 151
2.2 Aitken加速迭代法 154
§3 Newton法 157
§4 弦截法 160
§5 非线性方程组的解法 162
5.1 Newton法 162
5.2 最速下降法 166
§6 应用举例 170
第五章 线性代数方程组的解法 177
§1 Gauss消去法 177
1.1 Gauss消去法的计算过程 178
1.2 Gauss主元素消去法 181
1.3 标度化列主元消去法 183
2.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解 188
§2 直接三角分解法 188
2.2 列主元三角分解法 191
2.3 追赶法 195
2.4 方根法及改进的平方根法 197
§3 大型稀疏方程组的解法 203
3.1 稀疏矩阵的存储 204
3.2 带状矩阵的三角分解 209
3.3 等带宽带状方程组的列主元消去法 210
3.4 定变带宽带状方程组的改进平方根法 212
3.5 子结构法 215
3.6 对称半正定线性方程组的解法 221
3.7 含有部分已定变量值的方程组的解法 223
§4 行列式与逆矩阵的计算 224
4.1 行列式的计算 224
4.2 逆矩阵的计算 225
2.2 矩阵特征值与特征向量的性质 231
§5 向量范数与矩阵范数矩阵的条件数 232
5.1 量范数与矩阵范数 232
5.2 向量序列与矩阵序列的收敛性 234
5.3 矩阵的条件数 235
6.1 关于方程组近似解的精度估计 237
§6 解的精度估计与方程组的误差分析 237
§7 病态方程组的解法 238
6.2 方程组的误差分析 238
7.1 病态方程组与病态矩阵 240
7.2 病态方程组的解法 241
§8 迭代法 246
8.1 Jacobi迭代法 247
8.2 Gauss-Seidel迭代法 248
8.3 逐次超松弛迭代法 248
8.4 迭代法的矩阵形式 252
8.5 迭代法的收敛性 254
8.6 块迭代法 256
§9 共轭斜量法 260
§10 应用举例 266
第六章 矩阵特征值与特征向量的计算 278
§1 引言 278
§2 矩阵特征值问题的基本知识 280
2.1 矩阵特征值的有关定义 280
2.3 矩阵特征值界的估计 281
3.1 幂法 283
§3 幂法及其加速 283
3.2 幂法的加速 289
§4 对称矩阵的净化法 293
§5 压缩方法 296
§6 反幂法 301
6.1 计算矩阵按模最小特征值 301
6.2 计算给定近似特征值对应的特征向量 302
§7 对称矩阵的子空间迭代法 305
7.1 子空间迭代法的基本原理 306
7.2 算法及其说明 307
8.1 Jacobi方法的原理 310
§8 Jacobi方法 310
8.2 Jacobi过关法 313
§9 Householder方法 318
9.1 Householder变换 319
9.2 对称矩阵的三对角化过程 320
9.3 非对称矩阵的拟三角化过程 326
§10 QL方法 331
10.1 基本QL算法 331
10.2 对称矩阵带位移的QL算法 332
10.3 非对称矩阵带位移的QL算法 344
§11 广义特征值问题 348
11.1 化为标准特征值问题 348
11.2 子空间迭代法 354
11.3 广义Jacobi方法 360
§12 应用举例 366
第七章 常微分方程数值解法 377
§1 Euler法及其改进 378
1.1 Euler法 378
1.2 改进的Euler法 379
1.3 Euler法及改进的Euler法的误差 380
§2 Runge-Kutta法 383
§3 Adams法 387
§4 一阶方程组与高阶方程的数值解法 391
§5 收敛性与稳定性 395
§6 步长的选择 396
§7 边值问题的试射法 398
§8 边值问题的差分法 402
8.1 线性方程边值问题的差分法 403
8.2 非线性方程边值问题的差分法 406
§9 应用举例 408