第十五章 数项级数 1
1.导引 1
234.基本概念 1
235.简单定理 3
2.正项级数的收敛性 6
236.正项级数收敛性条件 6
237.级数比较定理 8
238.例 10
239.哥西检验法及达朗贝尔检验法 12
240.拉贝检验法 15
241.麦克洛林-哥西积分检验法 18
3.任意级数的收敛性 21
242.收敛性原理 21
243.绝对收敛性 22
244.交错级数 24
4.收敛级数的性质 27
245.可结合性 27
246.绝对收敛级数的可交换性 28
247.非绝对收敛级数的情形 30
248.级数乘法 32
5.无穷乘积 36
249.基本概念 36
250.简单定理。与级数的关系 38
251.例 41
6.初等函数的展为幂级数 43
252.戴劳级数 43
253.指数函数及主要三角函数的级数展开式 46
254.欧拉公式 47
255.反正切的展开式 49
256.对数级数 50
257.斯替尔灵公式 52
258.二项式级数 54
259.关于余项研究的一个笺注 56
7.用级数作近似计算 57
260.问题的提出 57
261.π的计算 59
262.对数的计算 60
第十六章 函数序列及函数级数 63
1.均匀收敛性 63
263.导言 63
264.均匀收敛性及非均匀收敛性 64
265.均匀收敛性条件 68
2.级数和的函数性质 70
266.级数和的连续性 70
267.正项级数的情形 73
268.逐项取极限 74
269.级数的逐项积分 77
270.级数的逐项微分 79
271.无导数连续函数一例 81
3.幂级数及多项式级数 83
272.幂级数收敛区间 83
273.幂级数和的连续性 87
274.收敛区间端点上的连续性 89
275.幂级数的逐项积分 91
276.幂级数的逐项微分 92
277.幂级数作为戴劳级数 94
278.连续函数展为多项式级数 95
4.级数简史 99
279.牛顿及莱卜尼兹时期 99
280.级数理论的形式发展时期 102
281.严密理论的建立 106
282.带无限积分限的积分定义 110
第十七章 非正常积分 110
1.带无限积分限的非正常积分 110
283.积分学基本公式的应用 112
284.与级数的相似性。简单定理 113
285.正函数情形的积分收敛性 115
286.一般情形的积分收敛性 117
287.更精致的检验法 119
2.无界函数的非正常积分 122
288.无界函数积分定义 122
289.积分学基本公式应用 124
290.积分收敛性条件及检验法 126
3.非正常积分的变换及计算 129
291.非正常积分的分部积分法 129
292.非正常积分中的变数替换 130
293.积分的技巧计算法 132
294.问题的提出 137
295.均匀趋于极限函数 137
第十八章 带参变数的积分 137
1.基本理论 137
296.积分号下取极限 140
297.积分号下的微分法 141
298.积分号下的积分法 143
299.积分限带参变数的情形 145
300.例 147
2. 积分的均匀收敛性 148
301.积分均匀收敛性定义 148
302.均匀收敛性的条件及充分检验法 150
303.带有限积分限的积分 153
3.积分均匀收敛性的应用 154
304.积分号下取极限 154
305.积分依参变数的积分法 158
306.积分依参变数的微分法 160
307.关于带有限积分限的积分的一个笺注 161
308.一些非正常积分的计算 162
4.欧拉积分 168
309.第一类型欧拉积分 168
310.第二类型欧拉积分 171
311.Г-函数的简单性质 172
312.例 177
313.关于两极限运算次序对调的史话 179
第十九章 隐函数·函数行列式 182
1.隐函数 182
314.一元隐函数概念 182
315.隐函数的存在及性质 184
316.多元隐函数 188
317.由方程组所定的隐函数 190
318.隐函数导数的计算 194
2.隐函数理论的一些应用 199
319.相对极值 199
320.拉格朗日不定乘数法 202
321.例及习题 203
322.函数独立性概念 206
323.函数矩阵之秩 208
3.函数行列及其形式的性质 212
324.函数行列式 212
325. 函数行列式的乘法 213
326.函数矩阵的乘法 215
第二十章 线积分 219
1.第一型线积分 219
327.第一型线积分 219
328.化为寻常定积分 221
329.例 223
330.第二型线积分定义 226
2.第二型线积分 226
331.第二型线积分的存在及其计算 228
332.闭路线的情形。平面的定向法 232
333.例 233
334.两种类型线积分间的关系 236
335.在物理问题上的应用 237
第二十一章 二重积分 241
1.二重积分定义及简单性质 241
336.柱体体积问题 241
337.化二重积分为累次积分 242
338.二重积分定义 245
339.二重积分存在条件 246
340.可积函数类 248
341.可积函数及二重积分的性质 251
342.积分作为可加性区域函数。对区域的微分法 254
2.二重积分的计算 256
343.化矩形区域上的二重积分为累次积分 256
344.化曲线区域上二重积分为累次积分 261
345.力学上的应用 267
3.格林公式 271
346.格林公式的推导 271
347.以线积分表出面积 274
4.线积分与积分路线无关的条件 276
348.沿简单闭界线的积分 276
349.沿连结任意的两点的曲线的积分 278
350.与恰当微分问题的联系 280
351.在物理问题上的应用 284
5.二重积分的变数替换 286
352.平面区域的变换 286
353.以曲线坐标表出面积 291
354.补充说明 294
355.几何的推导法 296
356.二重积分中的变数更换 299
357.与单积分的相似。定向区域上的积分 301
358.例 302
359.史话 305
第二十二章 曲面面积·面积分 308
1.双侧曲面 308
360.曲面的参变表示法 308
361.曲面之侧 312
362.曲面的定向法及其侧的选定 315
363.逐段光滑曲面的情形 318
2.曲面面积 319
364.希瓦尔兹的例 319
365.显式方程所给曲面的面积 321
366.一般情形的曲面面积 323
367.例 326
3.第一型面积分 328
368.第一型面积分定义 328
369.化为寻常的二重积分 329
370.第一型面积分在力学上的应用 331
4.第二型面积分 334
371.第二型面积分定义 334
372.化为寻常二重积分 337
373.斯托克斯公式 339
374.斯托克斯积分应用于空间线积分的研究 343
第二十三章 三重积分 346
1.三重积分及其计算 346
375.立体质量计算问题 346
376.三重积分及其存在条件 347
377.可积分函数及三重积分的性质 348
378.三重积分的计算 350
379.力学上的应用 354
2.奥斯脱罗格拉德斯基公式 356
380.奥斯脱罗格拉德斯基公式 356
381.奥斯脱罗格拉德斯基公式的几个应用实例 358
3.三重积分变换更换 362
382.空间区域的变换 362
383.体积表为曲线坐标 364
384.几何的推导法 368
385.三重积分的变数更换 369
386.例 370
387.史话 373
4.场论初步 374
388.数量与矢量 374
389.数量场与矢量场 374
390.沿给定方向的导数。梯度 375
391.通过曲面的矢量流量 378
392.奥斯脱罗格拉德斯基公式。发散量 379
393.矢量的循环量。斯托克斯公式。旋转量 381
5.多重积分 384
394.m维体的体积与m重积分 384
395.例 385
第二十四章 傅立叶级数 388
1.导言 388
396.周期量与调和分析 388
397.决定系数的欧拉-傅立叶方法 391
398.直交函数系 394
2.函数的傅立叶级数展开式 396
399.问题的提出。狄里希莱积分 396
400.基本预备定理 399
401.局部化原理 401
402.函数的傅立叶级数表示法 402
403.非周期函数的情形 404
404.任意区间的情形 406
405.只含余弦或只含正弦的展开式 407
406.例 410
407.连续函数展开为三角多项式级数 416
3.傅立叶积分 418
408.傅立叶积分作为傅立叶级数的极限情形 418
409.预备说明 420
410.用傅立叶积分表出函数 422
411.傅立叶公式的种种形式 423
412.傅立叶变换 425
4.三角函数系的封闭性与完备性 428
413.函数的平均逼近。傅立叶级数段的极值性质 428
414.三角函数系的封闭性 431
415.三角函数系的完备性 436
416.广义封闭性方程 437
417.傅立叶级数的逐项积分 437
418.几何的解释 439
5.三角级数简史 444
419.弦振动问题 444
420.达朗贝尔及欧拉的解法 445
421.戴劳及但尼尔·贝努里的解法 447
422.关于弦振动问题的争论 450
423.函数的三角展开式。系数的决定 451
424.傅立叶级数收敛性证明及其他问题 453
425.结尾语 455
附录 数学分析进一步发展概况 457
Ⅰ.微分方程 457
Ⅱ.变分法 458
Ⅲ.复变函数论 462
Ⅳ.积分方程论 465
Ⅴ.实变函数论 468
Ⅵ.泛函分析 472