第1章 矩阵 1
一、内容提要 1
(一)知阵 1
1. 基本概念 1
2. 有关理论 2
2.1 矩阵的运算 2
2.2 矩阵的运算规则 3
1. 基本概念 4
(二)行列式 4
2. 有关理论与方法 5
2.1 行列式的性质 5
2.2 行列式的计算 6
2.3 行列式的应用--克拉默法则 6
(三)可逆矩阵 7
1. 基本概念 7
2. 有关理论与方法 7
2.1 可逆矩阵的性质 7
2.2 可逆矩阵的求法 8
2.3 正交矩阵的性质 9
(四)分块矩阵 9
1. 基本概念 9
2. 有关理论与方法 9
2.1 分块矩阵运算法则 9
2.2 分块对角矩阵的逆矩阵 10
2.3 四分块矩阵的逆矩阵 11
2. 有关理论 13
1. 基本概念 13
(五)矩阵的秩 13
3. 矩阵秩的求法 14
二、题解举例 14
(一)检验基本概念是否清楚 14
(二)选择题 18
(三)例题解析 27
1.1 矩阵 27
1. 矩阵的运算及性质 27
2. 矩阵的应用 40
1. 行列式的计算(多种方法) 43
1.2 行列式 43
2. 有关范德蒙行列式的计算 74
3. 与代数余子式有关的计算 80
4. 有关行列式计算的综合问题 82
1.3 可逆矩阵 92
1. 多种方法求逆矩阵 92
2. 求解矩阵方程 96
3. 抽象矩阵的逆矩阵 112
4. 有关正交矩阵的例题 116
5. 有关矩阵的综合例题 118
1.4 分块矩阵 121
1. 特殊分块矩阵的逆矩阵 121
2. 四分块矩阵的逆矩阵 126
1.5 矩阵的秩 128
习题1 132
第2章 线性代数方程组 141
一、内容提要 141
(一)向量组的线性相关性 141
1. 基本概念 141
2.1 线性相关与线性表示的联系 142
2. 有关理论 142
2.2 线性相关的性质 143
2.3 向量组的秩 144
(二)线性代数方程组 145
1. 基本概念 145
2. 线性代数方程组解的理论 146
3. 线性代数方程组解的结构 146
3.1 齐次方程组Ax=0解的结构 146
4. 线性代数方程组与线性相关性的关系 147
3.2 非齐次方程组Ax=b解的结构 147
(三)向量空间 148
1. 基本概念 148
2. 有关理论与方法 151
2.1 正交性与线性无关性的关系 151
2.2 施密特(Schimidt)正交化方法 151
二、题解举例 152
(一)检验基本概念是否清楚 152
(二)选择题 159
2.1 向量组的线性相关性 176
1. 线性表示与线性组合 176
(三)例题解析 176
2. 线性相关与线性无关的判断 188
3. 向量组的秩与矩阵的秩 197
2.2 线性代数方程组 204
1. 齐次线性代数方程组的解法 204
2. 含参数的非齐次线性代数方程组的解法 209
3. 线性代数方程组的基础解系 217
4. 有关线性方程组理论的综合题 224
5. 线性代数方程组的应用 232
1. 向量空间的检验方法 235
2.3 向量空间 235
2. 向量空间的基、维数、坐标的求法 236
3. 向量的内积与正交化方法 241
习题2 246
第3章 矩阵特征值与特征向量、二次型 250
一、 内容提要 250
(一)特征值与特征向量 250
1. 基本概念 250
3. 有关理论 251
2. 特征值与特征向量的求法 251
1. 基本概念 252
2. 有关理论 252
2.1 相似矩阵的性质 252
(二)矩阵对角化 252
2.2 n阵方阵A与对角矩阵相似的条件 253
3. 将n阶方阵A对角化的方法与步聚 254
(三)二次型 254
1. 基本概念 254
1. 基本概念 256
2. 化二次型为标准形的方法 256
(四)正定矩阵 256
2. 有关理论 257
二、题解举例 259
(一)检验基本概念是否清楚 259
(二)选择题 262
(三)例题解析 268
3.1 特征值与特征向量 268
1. 特征值与特征向量的求法 268
2. 已知矩阵A的特征值，计算(或证明)与矩阵A有关的行列式、矩阵、逆矩阵 282
3. 哈密尔顿-凯莱定理的应用 291
3.2 矩阵对角化 293
1. 相似矩阵的判别方法 293
2. 方阵A与对角矩阵Λ相似的判别方法 296
3. 可对角化矩阵的应用 318
4. 关于相似(或对角)矩阵的证明题 328
3.3 二次型 332
1. 二次型的矩阵表示及其秩 332
2. 化二次型为标准形的方法 337
1. 正定矩阵、正定二次型的判定方法 355
3.4 正定矩阵 355
2. 有关正定矩阵的性质 362
习题3 367
第4章 线性变换 372
一、内容提要 372
(一)线性变换及其运算 372
1. 基本概念 372
2. 有关理论 372
2.1 线性变换的性质 372
2.2 线性变换的运算 373
1. 基本概念 374
(二)线性变换与矩阵 374
2. 有关理论 375
二、题解举例 376
(一)检验基本概念是否清楚 376
(二)例题解析 377
4.1 线性变换及其运算 377
1. 线性变换的检验 377
2. 线性变换的性质 381
1. 过渡矩阵的求法 382
4.2 线性变换与矩阵 382
2. 线性变换在一组基下的矩阵的求法 387
3. 线性变换的和、乘积及逆在某组基下矩阵的求法 401
习题4 406
习题解答 408
习题1 408
习题2 423
习题3 434
习题4 457