第一部分 高等数学 1
第一章 函数 1
1 函数的有关概念和几种特性 1
2 分段函数与积分上限的函数 5
第二章 极限 连续 求极限的方法 9
1 极限的概念与性质 9
1.1 定义 9
1.2 基本性质 10
2.1 数列xn敛散性的判别 11
2 极限的存在与不存在问题 11
1.3 与极限的不等式性质有关的若干问题 11
2.2 函数y=f(x)的极限的存在与不存在问题 12
2.3 证明多元函数z=f(x，y)极限不存在的问题 13
3 无穷小量和它的阶 14
3.1 无穷小量 极限 无穷大量 14
3.2 无穷小量的阶 15
3.3 无穷小量阶的运算性质 15
3.4 等价无穷小量的重要性质 16
3.5 确定无穷小量阶的方法 16
4.1 极限的四则运算与幂指数运算法则 18
4 求极限的方法 18
4.2 用洛必达法则求未定式的极限 20
4.3 利用函数的连续性求极限 22
4.4 利用变量替换法与两个重要极限求极限 23
4.5 利用适当放大缩小法求极限 24
4.6 利用函数极限求数列极限 26
4.7 递归数列的极限 27
4.8 利用定积分求某些和式的极限 30
4.9 利用泰勒公式求未定式的极限 31
5 函数的连续性及其判断 33
5.1 连续性概念 33
4.11 求二元函数的极限 33
4.10 用数值级数求和法求某些数列的极限 33
5.2 间断点的定义与分类 34
5.3 连续性运算法则 34
5.4 怎样判断函数的连续性 34
5.5 二元函数的连续性 36
第三章 导数 微分法 36
1 导数的概念 37
1.1 导数的定义及函数的连续性 37
1.2 用导数求某些函数的极限 38
2 微分法则 39
2.1 内容提要 39
2.2 分段函数的情形 41
2.3 变限积分的情形 45
3 隐函数以及参数方程表示的函数的微分法 48
3.1 隐函数的微分法 48
3.2 由参数方程表达的函数微分法 49
4 某些简单函数的n阶导数 51
4.1 应用分解法或归纳法求n阶导数(公式) 52
4.2 莱布尼茨公式 53
4.3 利用幂级数展式求导 53
5 导数的几何意义和物理意义 平面曲线的切线与法线 54
5.1 导数的几何意义 平面曲线的切线与法线 54
5.2 平面上两相交曲线之间的夹角 55
5.3 导数的物理意义 56
6 微分的概念及一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的作用 58
6.1 微分概念及一阶微分形式的不变性 58
6.2 用微分作近似计算 59
7.1 内容提要 60
7 多元函数的偏导数与全微分概念 60
7.2 用定义求偏导数 61
8 复合函数偏导数的求法 63
9 多元隐函数的微分法 67
10 求全微分及全微分在近似计算中的应用 70
10.1 多元函数全微分计算 70
10.2 近似计算 73
11 方向导数 梯度 73
11.1 方向导数 73
第四章 闭区间上连续函数的性质 微分学的中值定理及其应用 76
11.2 梯度 76
1 闭区间上连续函数的性质及其应用 77
2 微分学中值定理的内容提要 77
3 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要 78
3.1 函数的单调性 78
3.2 函数的极值 78
3.3 函数的最大值、最小值 79
3.4 函数图形的凹凸性和拐点 79
3.5 曲线的渐近线 80
3.6 函数图形的描绘 80
4.1 函数单调性的讨论 81
4 微分学中值定理的应用题型 81
3.7 二元函数的二阶泰勒公式 81
4.2 曲线凹凸性的讨论 83
4.3 不等式的证明 83
4.4 讨论极值和最值问题 88
4.5 中值命题的证明 89
4.6 方程根的讨论 94
4.7 证明函数恒等常数 97
4.8 描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题 97
1.1 原函数与不定积分的概念 99
1 不定积分的内容提要 99
第五章 一元积分学 99
1.2 不定积分的性质 100
1.3 求不定积分的基本公式 100
1.4 求不定积分的基本方法 101
2 定积分的内容提要 110
2.1 定积分的概念和性质 定积分中值定理 110
2.2 微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式 112
2.3 定积分的换元法 112
2.4 定积分的分部积分法 112
2.5 定积分的近似计算法 113
3 广义积分内容提要 114
3.1 无穷区间上的广义积分(无穷积分) 114
3.2 无界函数的广义积分(瑕积分) 114
4 定积分的计算 115
4.1 计算定积分的基本方法 115
4.2 分段函数(包括带绝对值符号的函数)的定积分计算 119
4.3 含参数的定积分计算 119
5 广义积分的计算 120
6.1 定积分等式的证明 122
6 定积分证明题 122
6.2 定积分不等式的证明 125
6.3 定积分中值命题的证明 129
6.4 从定积分的信息提取被积函数的信息 131
7 变限定积分及其导数 131
第六章 向量代数与空间解析几何 133
1 向量代数的内容提要 133
1.1 向量概念 133
1.2 向量的线性运算 133
1.3 向量的数量积、向量积和混合积 134
1.4 向量运算的坐标表示 134
1.5 向量代数的基本题型 135
2.1 直线、平面和曲面 136
2 空间解析几何的内容提要 136
2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影 137
2.3 关于平面束的定义及定理 137
3 空间解析几何的基本题型 138
3.1 求直线与直线、直线与平面、平面与平面间的夹角或讨论∥、⊥和相交关系 138
3.2 建立直线、平面、旋转曲面的方程 138
3.3 求点到直线、点到平面及异面直线的距离 145
3.4 与多元函数微分学联系的综合题 146
1 多元函数积分的概念 148
第七章 多元函数积分的概念与计算 148
1.1 多元积分的定义、几何意义或物理意义 149
1.2 两类曲线积分之间的关系 两类曲面积分之间的关系 152
2 多元函数积分的存在性与性质 154
2.1 多元函数积分的存在性 154
2.2 多元函数积分的性质 154
3 多元函数积分的计算 159
3.1 在直角坐标系中怎样把多元函数积分化为定积分 159
3.2 重积分的变量替换 167
3.3 怎样应用多元函数积分计算公式及怎样简化多元函数积分的计算 173
第八章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 182
1 多元函数积分学中的基本公式 183
1.1 向量场的通量与散度及高斯公式 183
1.2 向量场的环量与旋度及斯托克斯公式 184
1.3 格林公式 185
1.4 向量场的散度与旋度的计算 186
2 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 188
2.1 应用格林公式计算曲线积分 188
2.2 应用高斯公式计算曲面积分 191
2.3 应用斯托克斯公式计算曲线积分 193
3 平面上曲线积分与路径无关问题 194
3.1 ∫LPdx+Qdy与路径无关时的特征 194
3.2 怎样判断曲线积分∫LPdx+Qdy是否与路径无关 196
3.3 积分与路径无关时如何求I=∫？Pdx+Qdy及求原函数的方法 197
第九章 微积分的应用 200
1 微分学的某些应用 200
1.1 弧微分、曲率和曲率半径 200
1.2 求方程近似解的切线法与二分法 202
1.3 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线 204
2.1 微元法 209
2 积分的应用 209
2.2 定积分的几何应用 210
2.3 定积分的物理应用 219
2.4 重积分、曲线积分和曲面积分的某些应用 222
3 最大值与最小值应用问题 231
第十章 无穷级数 237
1 常数项级数？an的一般事项 238
1.1 ？an收敛、和、发散的概念及基本性质 238
1.2 用差消法、夹逼法求某些级数的和 239
1.4 用基本性质判别级数的收敛性 240
1.3 用必要条件判别级数的发散性 240
2 正项级数的审敛法 241
2.1 估计部分和有界法 241
2.2 不同通项比较法 242
2.3 比值审敛法 243
2.4 根值判别法 244
3 交错级数 244
4 级数的绝对收敛与条件收敛 246
5 函数项级数 幂级数 247
5.1 基本概念 247
5.2 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域 248
5.3 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 252
6 泰勒级数 256
6.1 内容提要 256
6.2 初等函数的幂级数展开式 257
6.3 幂级数在近似计算中的应用 259
7 傅里叶级数 261
7.1 内容提要 261
7.2 求函数的傅里叶系数与傅里叶级数展式 264
7.3 计算傅里叶级数在特定点上的值 266
1 基本概念 268
第十一章 常微分方程 268
2 一阶微分方程 270
2.1 变量可分离的方程与齐次方程 270
2.2 一阶线性方程 275
2.3 伯努利方程 279
2.4 全微分方程 279
2.5 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 281
3 可降阶的高阶微分方程 283
3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 283
3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 284
3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 286
4 高阶线性微分方程 287
4.1 线性方程解的性质和通解的结构 287
4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 290
4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 293
4.4 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 299
4.5 欧拉方程 301
4.6 微分方程幂级数解法简介 302
5 微分方程(或方程组)的简单应用问题 304
1 行列式的概念 309
第二部分 线性代数 309
第一章 行列式 309
2 行列式的性质 311
3 行列式按行(或列)的展开公式 314
4 分块行列式 范德蒙行列式 317
4.1 分块行列式 317
4.2 范德蒙行列式 318
5 行列式的计算 318
1.2 矩阵的运算 320
1.1 矩阵的概念 320
1 矩阵的概念及运算 320
第二章 矩阵 320
1.3 几类特殊的矩阵 324
2 逆矩阵与伴随矩阵 326
2.1 可逆矩阵的概念与性质 326
2.2 伴随矩阵 329
3 初等变换与初等矩阵 331
3.1 概念与性质 331
3.2 利用初等行变换求逆矩阵 333
3.3 利用初等行变换解矩阵方程 336
4 矩阵的分块运算 338
第三章 向量 339
1 向量组的线性关系 339
1.1 向量的基本概念 339
1.2 向量的线性运算 340
1.3 线性组合与线性表示 340
1.4 向量组的线性相关与线性无关 343
2 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩 349
2.1 向量组的极大无关组与秩 349
2.2 矩阵的秩 351
2.3 秩的计算 354
3 向量的内积运算 357
3.1 内积的定义及性质 357
3.2 正交矩阵 358
3.3 施密特正交化 359
4 向量空间 361
4.1 n维向量空间及其子空间 361
4.2 基、维数与坐标 361
4.3 基变换、过渡矩阵和坐标变换 362
1.1 基本概念 363
1 概念与基本性质 363
第四章 线性方程组 363
1.2 线性方程组解的性质 364
1.3 线性方程组解的情况的判别 364
1.4 克莱姆法则 365
2 齐次线性方程组Ax=O 367
2.1 基础解系和通解 367
2.2 基础解系的求法 368
3 非齐次线性方程组Ax=β 371
3.1 通解的结构 371
3.2 通解的求法 372
1 特征向量与特征值 375
1.1 定义与性质 375
第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量n阶矩阵的相似关系和对角化 375
1.2 特征多项式 378
1.3 特征值与特征向量的计算 381
2 n阶矩阵的相似关系与对角化 383
2.1 n阶矩阵的相似关系 383
2.2 n阶矩阵的对角化问题 385
3 实对称矩阵的对角化 388
1.1 二次型的定义 392
第六章 二次型 392
1 二次型及其矩阵 392
1.2 可逆线性变换替换 393
1.3 n阶矩阵的合同关系 394
2 二次型的标准化和规范化 惯性指数 394
2.1 惯性指数 394
2.2 标准化和规范化的方法 394
2.3 惯性指数与特征值的关系 399
3.2 正定性的判别 400
3.1 定义与基本性质 400
3 正定二次型与正定矩阵 400
第三部分 概率论与数理统计初步 404
第一章 概率论 404
1 事件和概率 404
1.1 最基本的概念 404
1.2 事件的关系和运算 404
1.3 概率的重要概念 405
1.4 计算概率的主要公式 405
1.5 解题指南 406
1.6 综合题 407
2 随机变量 410
2.1 随机变量及其分类 410
2.2 离散型随机变量 410
2.3 连续型随机变量 412
2.4 综合题 415
3 随机向量 417
3.1 随机向量的基本概念 417
3.2 离散型随机向量 418
3.3 连续型随机向量 420
3.4 综合题 423
4 概率补遗 428
4.1 正态随机向量的几个定理 428
4.2 x2分布、t分布和F分布 429
4.3 切比雪夫不等式和弱大数定律 429
4.4 中心极限定理 430
第二章 数理统计 431
1 数理统计的基本概念 431
1.1 总体与样本 431
1.3 正态总体某些统计量的分布 432
1.2 统计量 432
2 参数估计 433
2.1 点估计 433
2.2 区间估计 435
3 假设检验 437
3.1 假设检验的基本点 437
3.2 单个正态总体X～N(μ，σ2)的假设检验 438
3.3 两个独立正态总体X～N(μ1，σ？)Y～N(μ2，σ？)的假设检验 439
3.4 总体分布假设的x2检验 439
4 分布函数的分位数 440
第三章 综合练习 441