1微商 1
1．1大学数学研究什么？ 1
1．1．1大学数学与中学数学研究对象的比较 1
1．1．2大学数学的主要内容 1
1．2预备知识 3
1．2．1逻辑符号 3
1．2．2领域 3
1．2．3不等式 3
1．2．4单调数列 4
1．3函数 6
1．3．1函数概念 6
1．3．2函数的运算 8
1．3．3函数的改变量 9
1．3．4复合运算·复合函数 10
1．3．5函数模型 11
习题1-3 15
1．4函数的极限 17
1．4．1 x→x0时函数f（x）的极限 17
1．4．2函数极限的运算与性质 21
1．4．3第一个重要极限 24
习题1-4 25
1．5函数的连续性 27
1．5．1连续与间断的直观描述 27
1．5．2连续与间断的定义 28
1．5．3初等函数的连续性 32
1．5．4闭区间上连续函数的性质 34
习题1-5 35
1．6函数在无穷远处的极限 37
1．6．1 x→∞时函数的极限及水平渐近线 37
1．6．2第二个重要极限 40
习题1-6 43
1．7无穷小量及其比较 44
1．7．1无穷小量 44
1．7．2无穷小量的比较 46
1．7．3记号o与O 48
习题1-7 49
1．8微商 50
1．8．1微积分的典型问题之一——切线问题 50
1．8．2微商概念 52
1．8．3可微性与连续性 59
1．8．4数学怪物——科赫（Koch V）雪花曲线·分形几何学简介 60
习题1-8 61
第1章的重要概念与公式 63
总练习题1 64
2微分法 67
2．1微商的运算法则 67
2．1．1基本微商公式 67
2．1．2函数的和、差、积、商的微商法则 68
2．1．3反函数微商法则 71
2．1．4复合函数微商法则 72
2．1．5隐函数微分法 74
习题2-1 76
2．2．1高阶微商 78
2．2高阶微商 78
2．2．2关于函数乘积微商的莱布尼茨公式 81
习题2-2 82
2．3微分及其应用 83
2．3．1微分及其运算 83
2．3．2微分的应用 87
习题2-3 93
第2章的重要概念与公式 94
总练习题2 95
3微商的应用 98
3．1微分中值定理 98
3．1．1微分中值定理 98
3．1．2微分中值定理的证明 102
习题3-1 103
3．2用微商研究函数 104
3．2．1函数的增减性 104
3．2．2极值 106
3．2．3曲线的凹凸性与拐点 110
3．2．4函数作图 112
习题3-2 114
3．3最优化问题 116
3．3．1最大值、最小值 116
3．3．2最优化问题 117
习题3-3 121
3．4弹性与相关变化率 122
3．4．1需求弹性 122
3．4．2相关变化率 125
习题3-4 127
3．5洛必达（L Hospital）法则 128
3．5．1洛必达法则 128
3．5．2洛必达法则的证明 131
3．5．3其他类型不定式的极限 132
习题3-5 134
第3章的重要概念与公式 135
总练习题3 136
4积分及其应用 139
4．1定积分 139
4．1．1微积分的典型问题之二——面积问题 139
4．1．2定积分概念 141
习题4-1 142
4．1．3可积的充分条件 142
4．2定积分与原函数的关系 143
4．2．1直观背景 143
4．2．2原函数与不定积分 144
4．2．3微积分基本定理 148
习题4-2 151
4．3定积分的性质 152
习题4-3 155
4．4积分法 156
4．4．1直接积分法 156
4．4．2换元积分法 158
4．4．3分部积分法 171
4．4．5数值积分法 176
4．4．4积分表的使用 176
习题4-4 180
4．5定积分的应用 183
4．5．1广义积分 183
4．5．2面积、体积、弧长的计算 187
4．5．3定积分与概率密度 195
4．5．4定积分在经济管理与社会科学中的应用 198
习题4-5 200
第4章的重要概念与公式 202
总练习题4 203
5．1微分方程基础 208
5．1．1实际背景 208
5微分方程与差分方程 208
5．1．2基本概念 211
习题5-1 213
5．2一阶微分方程 213
5．2．1可分离变量的微分方程 213
5．2．2齐次（微分）方程 215
5．2．3一阶线性微分方程 217
5．2．4微分方程的应用（连续模型） 222
习题5-2 225
5．3二阶微分方程 227
5．3．1可降阶的二阶方程 227
5．3．2二阶常系数线性微分方程 228
5．3．3微分方程组 234
5．4差分方程 238
习题5-3 238
5．4．1差分方程基础 239
5．4．2一阶常系数线性差分方程 241
5．4．3二阶常系数线性差分方程 243
5．4．4差分方程的应用（离散模型） 245
习题5-4 252
第5章的重要概念与公式 253
总练习题5 254
6多元函数微分学 257
6．1空间曲面与曲线 257
6．1．1空间直角坐标系 257
6．1．2曲面 259
6．1．3空间曲线 262
习题6-1 264
6．2多元函数 264
6．2．1多元函数概念 264
6．2．2等高线·等产量线 266
6．2．3二元函数的极限与连续 266
习题6-2 267
6．3偏微商 268
6．3．1偏微商与全微分 268
6．3．2偏微商的应用 271
6．3．3高阶偏微商 273
习题6-3 275
6．4复合函数微分法 276
6．4．1复合函数微分法 276
6．4．2隐函数微分法 279
习题6-4 281
6．5最优化问题 282
6．5．1二元函数的极值 282
6．5．2无约束最优化问题 284
6．5．3约束最优化问题 286
6．5．4最小二乘法与数学建模 290
6．5．5线性规划 296
习题6-5 298
第6章的重要概念与公式 300
总练习题6 301
7．1二重积分概念 303
7．1．1实际背景 303
7二重积分 303
7．1．2二重积分定义 304
7．1．3二重积分的性质 305
习题7-1 307
7．2二重积分的计算 307
7．2．1在直角坐标下计算二重积分 307
7．2．2在极坐标下计算二重积分 312
习题7-2 314
7．3二重积分的应用 315
7．3．1用二重积分计算概率积分？ 315
7．3．2用二重积分计算体积与面积 316
7．3．3二重积分在社会科学中的应用 319
习题7-3 320
总练习题7 321
第7章的重要概念与公式 321
8无穷级数 323
8．1数项级数 323
8．1．1基本概念 323
8．1．2基本性质·收敛级数的必要条件 328
8．1．3正项级数的收敛检验法 329
8．1．4交错级数·莱布尼茨判别法 334
8．1．5绝对收敛·条件收敛 336
习题8-1 337
8．2幂级数 339
8．2．1幂级数概念与性质 339
8．2．2幂级数的收敛半径 340
8．2．3幂级数的运算 342
习题8-2 344
8．3泰勒（Taylor）级数 345
8．3．1问题的提出 345
8．3．2泰勒公式 348
8．3．3函数的泰勒展开式 349
8．3．4泰勒级数的应用 352
习题8-3 356
第8章的重要概念与公式 357
总练习题8 358
附录1积分表 361
附录2习题答案 369
附录3名词术语索引 392
参考文献 398