绪论 1
1 计算方法的主要内容 1
2 数的近似表示 3
3 离散变量和离散化 5
4 逼近的概念 7
5 迭代 10
第一章 线性代数方程组的解法 16
1 引言 16
1-1 研究数值解法的必要性 16
1-2 一些说明 17
1-3 与解线性代数方程组有关的问题 17
1-4 精确法与迭代法 18
2 消去法 20
2-1 简单的消去法 20
2-2 无回代过程的消去法 22
3 消去法与矩阵分解 24
3-1 简单消去法与三角状分解 24
3-2 无回代过程的消去法与矩阵分解 29
3-3 a11,a(1)22,a(2)33,a(3)44与主子行列式 31
3-4 求方阵的逆与矩阵分解 31
3-5 小结--两种消去法之比较 31
4 紧凑格式与平方根法 34
4-1 紧凑格式 34
4-2 对称方阵的三角状分解与平方根法 37
5 三对角方程组 38
6 主元选取 42
6-1 主元选取之必要性 42
6-2 主元选取的办法 44
7 向量的范数与方阵的范数 45
7-1 向量范数 45
7-2 方阵的范数 46
7-3 谱半径、谱范数与F范数N(A) 50
8 方阵的状态、解对系数的敏感性以及解法的稳定性 52
8-1 简单的例 52
8-2 要考虑的问题 53
8-3 状态数(条件数) 55
8-4 选取主元的(简单)消去法之稳定性 57
9 迭代法 58
9-1 简单迭代法与塞德尔(Seidel)迭代法 58
9-2 简单迭代法与塞德尔迭代法的收敛性 60
9-3 迭代法的矩阵写法与一般迭代过程 63
9-4 两个重要定理 64
9-5 关于判别条件Ⅰ与Ⅱ的论证 68
9-6 松弛概念与逐个超松弛法 69
10 最速下降法与共轭斜量法 73
10-1 几何意义与等价问题 73
10-2 最速下降法 76
10-3 共轭斜量法 77
习题 81
1 引言 86
第二章 求方阵的特征值与特征向量 86
2 雅可比方法 87
2-1 旋转变换 87
2-2 雅可比方法 89
3 求对称方阵特征值的对分法 90
3-1 C=［bi-1,ci,bi］的施斗姆性质 91
3-2 将A相似简化为C的两种办法 94
3-3 求A的相应特征向量 97
4 乘幂法 99
习题 104
1 拉格朗日(Lagrange)插值 106
第三章 插值与逼近 106
2 差商与牛顿插值公式 110
2-1 差商的概念 110
2-2 牛顿插值公式 111
2-3 差商的基本性质 112
2-4 差商表与例 113
2-5 带重合基点的差商 114
3 差分与等距节点插值公式 115
3-1 差分记号 115
3-2 等距节点的插值公式 117
4 埃尔米特(Hermite)插值公式 120
5-1 基本概念 122
5 样条函数插值 122
5-2 插值问题与端点条件 123
5-3 在内结点处的关系及线性方程组 124
6 正交多项式 129
6-1 正交函数系的概念 129
6-2 切彼晓夫(Небышев)多项式Tn(x) 130
6-3 切彼晓夫多项式的基本性质 131
6-4 正交多项式Pn(x),Ln(x),Hn(x) 133
6-5 关于正交多项式的小结 135
7 正交多项式系与最佳均方逼近 138
8 切彼晓夫多项式在计算函数值时的应用 142
8-1 利用切彼晓夫多项式来降低逼近多项式的次数 142
8-2 切彼晓夫级数在函数值计算的应用 144
9 曲线拟合 145
9-1 问题提出与基本概念 145
9-2 线性最小二乘问题与正则方程 147
9-3 解线性最小二乘问题的正交三角化方法 150
习题 155
第四章 数值积分 157
1 引言 157
1-1 数值求积的必要性 157
1-2 求积公式和它的代数精确度 157
1-3 利用插值多项式直接导出的求积公式 159
2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 160
2-1 牛顿-柯特斯公式 160
2-2 梯形求积公式与抛物线求积公式 161
2-3 复合梯形与复合抛物线求积公式 163
2-4 高阶牛顿-柯特斯公式 166
3 龙贝格(Romberg)求积算法 167
4-1 不带权的高斯求积公式 170
4-2 带权的高斯求积公式 173
5 利用样条插值的求积公式 175
习题 176
4 高斯求积公式 179
第五章 常微分方程初值问题数值解法 179
1 引言 179
2-2 改进的尤拉折线法 184
2 尤拉折线法与改进的尤拉折线法 184
2-1 尤拉折线法 184
2-3 预估-校正法 188
3 龙格-库塔方法 188
3-1 泰勒展开方法 188
3-2 关于龙格-库塔方法 189
3-3 龙格-库塔公式的推导 191
4 线性多步法 196
4-1 阿达姆斯外推法 197
4-2 阿达姆斯内插法 199
4-3 利用泰勒展开的办法 202
5-1 哈明方法的计算步骤 207
5 哈明方法 207
5-2 推导公式(5.1)及(5.2) 209
5-3 计算“表头”的方法 210
6 收敛性和稳定性 211
6-1 单步法的收敛性 211
6-2 标准四阶龙格-库塔方法的绝对稳定区域 216
6-3 简要说明 217
7 方程组和刚性方程 218
7-1 方程组和高阶方程 218
7-2 刚性方程 220
8 小结 223
习题 224
第六章 椭圆型方程的差分方法 228
1 常微分方程边值问题的差分方法 229
1-1 差分方程的建立 229
1-2 差分方程组的可解性及误差估计 230
1-3 解差分方程组的追赶法 233
1-4 实例 235
1-5 关于一般二阶常微分方程第三边值问题 237
2 把二阶椭圆型方程边值问题化为差分方程 238
2-1 正方形网格 239
2-2 微分方程的差分逼近 240
2-3 边界条件的近似处理 244
2-4 差分方程解的存在唯一性、收敛性及误差估计 247
3-1 差分方程组的矩阵形式和特征 252
3 椭圆差分方程组的迭代解法 252
3-2 迭代法的收敛速度 256
3-3 逐个超松弛法 258
4 重泊松方程的差分方法 263
4-1 微分方程的差分逼近 264
4-2 边界条件的近似处理 266
习题 267
第七章 抛物型和双曲型方程的差分方法 270
1 抛物型方程的差分方法 270
1-1 最简单的显式差分格式 271
1-2 最简单的隐式差分格式 273
1-3 六点对称格式 274
1-4 李查逊(Richardson)格式 275
1-5 一般线性抛物型方程的差分格式 276
2 差分格式的稳定性和收敛性 277
2-1 问题的提出 277
2-2 ε-图方法 279
2-3 稳定性的定义及最简单显式差分格式的稳定性 281
2-4 隐式差分格式的稳定性 284
2-5 差分格式的收敛性 285
2-6 一般抛物型方程分格式的收敛性与稳定性 287
3 二维抛物型方程的差分格式 291
3-1 显式差分格式 291
3-2 交替方向格式 293
4-1 微分方程的差分逼近 294
4 线性双曲型方程的差分方法 294
4-2 初值条件和边值条件的差分近似 295
4-3 差分格式的收敛性 297
4-4 差分方程的稳定性 298
1-3 例 300
5 一阶双曲型方程组的特征线法 306
5-1 特征和特征上的微分关系 306
5-2 特征--差分方法 308
5-3 一阶双曲型方程组的情况 310
5-4 二阶双曲型方程与一阶双曲型方程组的联系 313
习题 315
第八章 微分方程的有限元方法 318
1 变分方法 318
1-1 等价性定理 319
1-2 里兹-加辽金方法 324
2 椭圆型方程的有限元方法 333
2-1 变分原理 333
2-2 剖分与插值 338
2-3 变分问题的离散化 347
2-4 误差估计及收敛性 354
2-5 实例 359
2-6 方法的特点 362
2-7 关于单元剖分和插值函数的讨论 363
3 抛物型和双曲型方程的有限元方法 364
习题 367