第1篇 计算方法 1
1 绪论 1
1.1 计算方法的对象与特点 1
1.2 误差的来源及误差的基本概念 1
1.2.1 误差的来源 1
1.2.2 绝对误差与绝对误差限 2
1.2.3 相对误差与相对误差限 2
1.2.4 有效数字 3
1.2.5 数据误差的影响 4
1.3.1 数的浮点表示 5
1.3 机器数系 5
1.3.2 机器数系 6
1.3.3 机器数的相对误差限 7
1.4 误差危害的防止 7
1.4.1 使用数值稳定的计算公式 8
1.4.2 尽量避免两相近数相减 9
1.4.3 尽量避免用绝对值很大的数作乘数 10
1.4.4 防止大数“吃掉”小数 11
1.4.5 注意简化计算步骤，减少运算次数 11
小结 12
复习思考题 13
习题 1 13
2.1 问题的提出 15
2 方程救根 15
2.2 二分法 16
2.3 迭代法 18
2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件 18
2.3.2 迭代法的局部收敛性 23
2.3.3 迭代法的收敛速度 24
2.3.4 埃特金加速法 26
2.4 牛顿法与割线法 28
2.4.1 牛顿迭代公式 28
2.4.2 局部收敛性 28
2.4.3 大范围收敛性 30
2.4.4 割线法 31
2.5 代数方程求根的劈因子法 32
2.6 应用实例：任一平面与螺旋线全部交点的计算 35
2.6.1 数学模型 35
2.6.2 关于交点个数的讨论 36
2.6.3 根的求法 39
2.6.4 根的个数趋于无穷时的“实时”求交点方法 40
小结 41
复习思考题 41
习题 2 42
3 线性方程组数值解法 44
3.1 问题的提出 44
3.2.1 三角方程组的解法 45
3.2 消去法 45
3.2.2 高斯消去法 46
3.2.3 追赶法 50
3.2.4 列主元高斯消去法 51
3.3 矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用 53
3.3.1 矩阵分解的紧凑格式 53
3.3.2 改进平方根法 56
3.3.3 列主元的三角分解法 58
3.4 向量范数和矩阵范数 59
3.4.1 向量范数 60
3.4.2 矩阵范数 60
3.5.1 迭代法及其收敛性 62
3.5 迭代法 62
3.5.2 雅可比迭代法 65
3.5.3 高斯-赛德尔迭代法 68
小结 70
复习思考题 71
习题 3 71
4 插值法 74
4.1 问题的提出 74
4.1.1 插值函数的概念 74
4.1.2 插值多项式的存在唯一性 75
4.2.1 基本插值多项式 76
4.2 拉格朗日插值多项式 76
4.2.2 拉格朗日插值多项式 77
4.2.3 插值余项 77
4.2.4 一类带导数插值条件的插值 80
4.3 差商、差分及牛顿插值多项式 81
4.3.1 差商及牛顿插值多项式 82
4.3.2 差分及等距节点插值公式 86
4.4 高次插值的缺点及分段插值 88
4.4.1 高次插值的误差分析 88
4.4.2 分段线性插值 89
4.4.3 分段二次插值 90
4.5 样条插值函数 91
4.5.1 三次样条插值函数 92
4.5.2 三次样条插值函数的求法 92
4.6 应用实例：丙烷导热系数的计算 96
小结 98
复习思考题 98
习题 4 99
5 曲线拟合 101
5.1 最小二乘原理 101
5.2 超定方程组的最小二乘解 106
5.3 应用实例：价格、广告与赢利 108
小结 108
复习思考题 110
习题 5 111
6 数值积与数值微分 112
6.1 数值积分问题的提出 112
6.2 插值型求积公式 113
6.2.1 插值型求积公式 113
6.2.2 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式 114
6.2.3 插值型求职公式的截断误差与代数精度 115
6.3 复化求积公式 118
6.3.1 复化梯形公式 118
6.3.2 复化辛卜生公式 119
6.3.3 复化柯特斯公式 120
6.3.4 复化求积公式的阶 121
6.3.5 步长的自动选择 121
6.4 龙贝格求积公式 122
6.5 高斯求积公式简介 126
6.6 重积分的计算 129
6.7 数值微分 131
6.7.1 数值微分问题的提出 131
6.7.2 插值型求导公式及截断误差 133
6.8 应用实例：椭圆轨道长度的计算 135
复习思考题 137
习题 6 137
小结 137
7 常微分方程数值解法 140
7.1 问题的提出 140
7.2 欧拉方法 140
7.2.1 欧拉公式 140
7.2.2 梯形公式 143
7.2.3 改进欧拉公式 143
7.2.4 整体截断误差 146
7.3 龙格-库塔方法 146
7.3.1 龙格-库塔方法的基本思想 146
7.3.2 二阶龙格-库塔公式 147
7.3.3 高阶龙格-库塔公式 148
7.4 线性多步法 151
7.4.1 阿当姆斯内插公式 152
7.4.2 阿当姆斯外推公式 153
7.4.3 阿当姆斯预测校正公式 154
7.5 一阶方程组与高阶方程 156
7.5.1 一阶方程组 156
7.5.2 化高阶方程为一阶方程组 157
7.6 应用实例：摆球振动 159
小结 161
复习思考题 161
习题 7 162
8.2 按模最大与最小特征值的求法 164
8.1 问题的提出 164
8 矩阵的特征值及特征向量的计算 164
8.2.1 幂法 165
8.2.2 反幂法 170
8.3 计算实对称矩阵特征值的雅可比法 171
8.4 QR方法 179
8.4.1 矩阵A的QR分解 179
8.4.2 QR算法 182
小结 183
复习思考题 183
习题 8 183
1.1 舍入误差与数值稳定性 185
1.舍入误差与数值稳定性 185
第2篇 计算实习 185
实习题1 188
2 方程求根 188
2.1 二分法 188
2.2 牛顿迭代法 190
实习题2 193
3 线性方程组数值解法 193
3.1 列主元高斯消去法 193
3.2 矩阵直接三角分解法 196
3.3 迭代法 198
3.3.1 雅可比迭代法 198
3.3.2 高斯-赛德尔迭代法 200
实习题3 202
4 插值法 203
4.1 拉格朗日插值多项式 203
4.2 牛顿插值多项式 205
实习题4 205
5 曲线拟合 207
5.1 最小二乘法 207
实习题 5 210
6 数值积分 210
6.1 复化梯形公式与复化辛卜生公式的自适应算法 211
6.1.1 复化辛卜生公式 211
6.1.2 自适应梯形公式 212
6.2 龙贝格算法 214
实习题6 214
7 常微公方程数值解法 216
7.1 改进欧拉方法 217
7.2 龙格-库塔方法 219
7.3 阿当姆斯方法 221
实验题7 223
8 矩阵的特征值与特征向量的计算 224
8.1 幂法 224
实习题8 226
参考文献 228