第一章 有限元法引论 1
1.1 基本概念 1
1.2 历史概况 1
1.3 方法的通用性 2
1.3.1 一维热传导 2
1.3.2 一维流体流动 4
1.3.3 受轴向荷载作用的实心杆 4
1.4 有限元法的工程应用 4
1.5 有限元法概述 6
目录 9
主要符号 9
1.6 有限元法与其他分析方法的比较 16
1.6.1 梁振动运动方程的推导？ 16
1.6.2 准确的解析解（分离变量法） 17
1.6.3 近似的解析解（瑞利法） 18
1.6.4 近似的解析法（迦辽金法） 20
1.6.5 数值解的有限差分法 22
1.6.6 数值解的有限元法（位移法） 24
1.7 有限元程序包 27
习题 27
第二章 有限元方程组的解法 29
2.1 引言 29
2.2 平衡问题的解法 30
2.2.1 高斯消去法 31
2.2.2 乔列斯基法 35
2.2.3 其他方法 39
2.3 特征值问题的解法 40
2.3.1 雅可比法 42
2.3.2 幂法 44
2.3.3 瑞利-李兹子空间迭代法 49
2.3.4 其他方法 57
2.4 传播问题的解 58
2.4.1 方程（2.56）的数值解 59
2.4.2 方程（2.58）的数值解 62
习题 69
第三章 有限元方法的一般步骤 73
3.1 定义域的离散化 73
3.1.1 基本单元形状 74
3.1.2 离散过程 75
3.2 插值多项式 83
3.2.1 插值函数的多项式形式 83
3.2.2 插值多项式阶次的选择 86
3.2.3 收敛性要求 88
3.2.4 用整体坐标表示的线性插值多项式 90
3.2.5 用局部坐标系表示的线性插值函数 98
3.3 单元特征矩阵和特征向量的建立 106
3.3.1 直接法 106
3.3.2 变分法 112
3.3.3 加权余量法 126
3.3.4 坐标变换 133
3.4 单元矩阵和向量的集合以及系统方程的推导 134
3.4.1 单元方程的集合 134
3.4.2 集合过程的计算机实现 139
3.4.3 边界条件的引入 141
3.4.4 在计算机程序中引入边界条件 143
3.6 单元结果的计算 144
3.5 有限元（系统）方程组的解 144
习题 145
第四章 高次单元和等参单元的计算公式 148
4.1 引言 148
4.2 高次一维单元 148
4.2.1 二次单元 148
4.2.2 三次单元 149
4.3 用自然坐标表示的高次单元 150
4.3.1 一维单元 150
4.3.2 二维单元（三角形单元） 152
4.3.3 结点插值函数的推导 154
4.3.4 三维单元（四面体单元） 156
4.3.5 二维单元（四边形单元） 158
4.3.6 三维单元（六面体单元） 161
4.4 用经典插值多项式表示的高次单元 164
4.4.1 经典插值函数 164
4.4.2 一维单元 169
4.4.3 二维单元：矩形单元 171
4.5 连续性条件 173
4.6 单元的比较研究 175
4.7 等参单元 175
4.7.1 定义 175
4.7.2 坐标变换中的形状函数 177
4.7.3 曲边单元 178
4.7.4 单元方程的推导 180
4.8 数值积分 183
4.8.1 一维情况 183
4.8.2 二维情况 184
4.8.3 三维情况 186
习题 187
第五章 固体力学和结构力学 189
5.1 引言 189
5.2 固体力学的基本方程 189
5.2.1 引言 189
5.2.2 外部的平衡方程 190
5.2.3 内部的平衡方程 190
5.2.4 应力-应变关系（本构关系） 191
5.2.5 应变-位移关系 196
5.2.6 边界条件 197
5.2.7 协调方程 198
5.2.8 各向异性材料的应力-应变关系 199
5.2.9 固体力学和结构力学公式的建立 201
5.3 平衡方程的建立 205
静力分析 205
5.4 桁架及框架的分析 209
5.4.1 空间桁架单元 209
5.4.2 空间框架单元 216
5.4.3 平面框架单元 225
5.4.4 梁单元 226
5.4.5 框架分析的计算机程序（FRAME） 226
5.5 板的分析 233
5.5.1 引言 233
5.5.2 三角形薄膜单元 234
5.5.3 薄膜单元的数值结果 239
5.5.4 平面内荷载作用下板的计算机程序（CST） 243
5.5.5 板的弯曲性质 249
5.5.6 三角形弯曲板单元 252
5.5.7 弯曲单元的数值结果 256
5.5.8 用板单元分析三维结构 259
5.5.9 用板单元分析三维结构的计算机程序（PLATE） 262
5.6 三维问题的分析 262
5.6.1 引言 262
5.6.2 四面体单元 262
5.6.3 六面体单元 265
5.6.4 数值计算结果 269
5.7 旋转体的分析 269
5.7.1 引言 269
5.7.2 轴对称环单元的单元方程的建立 270
5.7.3 数值结果 273
5.7.4 计算机程序（STRESS） 274
5.8 运动的动力方程 280
动力分析 280
5.9 一致的和集中的质量矩阵 282
5.10 整体坐标系中的一致质量矩阵 283
5.10.1 铰接（空间桁架）单元的一致质量矩阵 284
5.10.2 框架单元的一致质量矩阵 285
5.10.3 三角形薄膜单元的一致质量矩阵 287
5.10.4 三角形弯曲单元的一致质量矩阵 287
5.10.5 四面体的一致质量矩阵 289
5.11 自由振动分析 289
5.12 三维结构特征值分析的计算机程序（PLATE） 296
5.13 特征值问题的凝聚（特征值缩减） 308
5.14 用有限元法进行动力响应计算 312
5.14.1 无阻尼系统运动方程的解耦 313
5.14.2 阻尼系统运动方程的解耦 314
5.14.3 一般二阶微分方程的解 315
5.15 非保守的稳定性和颤振问题 320
习题 320
第六章 热传导 324
6.1 引言 324
6.2 热传导的基本方程 324
6.2.1 能量平衡方程 324
6.2.2 速率方程 324
6.2.3 三维体中热传导的控制微分方程 325
6.2.4 用微分方程形式表述问题 328
6.3 有限元方程的推导 328
6.3.1 变分法 328
6.3.2 迦辽金法 331
6.4.1 等截面直散热片分析 333
6.4 一维热传导 333
6.4.2 锥形散热片分析 341
6.4.3 用二次元分析等截面直散热片 344
6.5 二维热传导 347
6.6 轴对称热传导 361
6.7 三维热传导 372
6.8 非稳态热传导问题 376
6.8.1 单元热容量矩阵的推导 377
6.8.2 时域问题中的有限差分法 381
6.9 有辐射的热传导问题 383
习题 389
第七章 流体力学 391
7.1 引言 391
7.2 流体力学的基本方程 391
7.2.1 定义 391
7.2.2 流场 392
7.2.3 连续方程 393
7.2.4 运动方程或动量方程 394
7.2.5 能量方程 398
7.2.6 状态方程与粘性方程 400
7.2.7 解法 400
7.2.8 无粘性流体流动 400
7.2.9 无旋流动 401
7.2.10 速度势 402
7.2.11 流函数 403
7.3 无粘性不可压缩流动 405
7.3.1 势函数公式 406
7.3.2 流函数公式 412
7.3.3 计算机程序（PHIFLO） 414
7.4 多孔介质中的流动 417
7.4.1 控制方程 418
7.4.2 有限元解 419
7.4.3 通过坝体的稳定无限制流动 420
7.4.4 流向水井壁的稳定流动 420
7.5 浅水池的波浪运动 421
7.5.1 运动方程 421
7.5.2 边界条件和初始条件 422
7.5.3 用迦辽金法求方程（7.133）的有限元解 423
7.5.4 特征值解 426
7.6 不可压缩粘性流动 427
7.6.1 问题的表述 427
7.5.5 用振型叠加法求方程（7.161）的解 427
7.6.2 流函数公式（用变分法） 428
7.6.3 速度-压力公式（用迦辽金法） 432
7.6.4 流函数-速度公式 436
7.7 非牛顿流体的流动 438
7.7.1 控制方程 438
7.7.2 用迦辽金法的有限元方程 439
7.7.3 解法 440
习题 442
第八章 有限元法的其他应用与推广 444
8.1 引言 444
8.2 稳态场问题 444
8.3 瞬态场问题 446
8 4 空-时有限元 448
8.5 泊松方程的解 449
8.5.1 扭转问题控制方程的推导 449
8.5.2 有限元解 451
8.5.3 计算机程序（TORSON） 455
8.6 亥姆霍兹方程的解 457
8.7 雷诺方程的解 461
8.7.1 液动润滑问题 461
8.7.2 有限元方程 462
8.8 最小二乘有限元法 465
8.8.1 一般线性偏微分方程的解 465
8.8.2 非稳态气体动力方程的解 468
8.9 平衡、混合和杂交单元 472
8.10 各种应用 472
习题 473
附录A：格林-高斯定理（二维和三维的分部积分） 474
参考文献 476
7.2.12 伯努利方程 484