第一篇 1
线性微分算子的基本理论 1
第一章 基本概念和命题 1
§1．线性微分算子的定义及基本性质 1
1．线性向量空间及线性算子的一般定义 1
目录 3
序 3
2．线性微分表达式 3
3．边界条件 3
4．齐次边界问题 5
5．拉格朗日（Lagrange）公式；共轭微分表达式 6
6．共轭边界条件；共轭算子 9
7．共轭边界问题 12
§2．微分算子的特征值和特征函数 13
1．特征值和特征函数的定义 13
2．特征值问题的种种推广 16
3．伴随函数 17
4．共轭算子的特征值和特征函数之间的关系 21
5．自共轭算子的特征值和特征函数 22
6．特征值问题的例 22
§3．线性微分算子的格林函数 27
1．逆算子的一般定义 27
2．微分算子的反演问题 28
3．格林函数的构造 29
4．微分算子借助于格林函数的反演 30
5．共轭算子的格林函数 33
6．含参数的边界问题化为积分方程 34
7．算子L-λI的格林函数 36
8．算子L-λI的格林函数的解析性质 37
9．格林函数在重极点的情形 40
第二章 特征值和特征函数的渐近性质；按微分算子的特征函数的展开式 43
§4．当｜λ｜值甚大时，特征值和特征函数的展开式 43
1．问题的提出 43
2．域S和T 44
3．化方程l（y）＋ρn（y）＝0为积分微分方程 46
4．积分方程组的引理 47
5．方程l（y）＋ρny＝0的解的渐近公式 48
6．渐近公式的精确化 53
7．边界条件的就范化 56
8．正则边界条件 56
9．特征值的渐近式 61
10．特征函数的渐近式 70
11．渐近公式的各种扩充 74
§5．按特征函数的展开式 75
1．富里埃方法的依据 75
2．自共轭算子的情形 76
3．按正则边界条件产生的微分算子的特征函数展开式 78
4．分离的边界条件下特征函数的展开式；凯尔迪斯定理 85
5．格林函数有重极点的情形；m重的完备性 105
第三章 向量函数空间的微分算子 108
§6．基本概念 108
1．向量函数空间的线性微分表达式 108
2．边界条件 110
3．齐次算子方程 110
4．齐次边界问题 111
5．拉格朗日公式；共轭微分表达式 112
6．共轭边界条件；共轭算子 112
7．微分算子的特征值和特征函数 114
8．一阶算子的情形 116
§7．微分算子的格林函数 118
1．微分算子的逆 118
2．算子L-λI的格林函数 119
3．算子L-λI的格林函数的解析性质 120
§8．微分算子的特征值的渐近式 121
1．问题的提出 121
2．矩阵方程l（Y）＋ρnY＝0的解当｜ρ｜甚大时的渐近式 122
3．边界条件的就范化 123
4．正则边界条件 123
5．特征值的渐近式 124
1．自共轭微分算子的情形 126
§9．按微分算子特征函数的展开式 126
2．按正则边界条件所产生的微分算子的特征函数展开式 127
第二篇 133
希尔伯特空间中的线性微分算子 133
第四章 希尔伯特空间中线性算子一般理论的某些知识 133
§10．希尔伯特空间 133
1．希尔伯特空间的定义 133
2．？上的线性泛函 137
3．有界算子 138
4．投影算子 138
与命题 140
1．希尔伯特空间的直接和 140
6．任意算子的运算 140
§11．希尔伯特空间中线性算子理论的某些一般概念 140
5．等距算子 140
2．算子的图象 141
3．闭算子；算子的闭包 141
4．共轭算子 142
§12．自共轭算子的谱分析 145
1．谱函数 145
2．谱函数的积分 146
3．谱的基本定理 148
5．用自共轭算子的谱函数描述它的谱 149
4．约化 149
§13．全连续算子 152
1．紧集 152
2．紧性判别准则 152
3．全连续算子的定义与基本性质 154
4．埃尔米特全连续算子的谱 156
§14．对称算子的扩张 157
1．问题的提出 157
2．对称算子的亏子空间 158
3．凯莱（Cayley）变换 158
4．共轭算子的定义域 161
5．诺玉曼（Neumann）公式 163
6．按某一子空间为模的维数 164
7．亏指数 165
8．对称算子的对称扩张的描述 166
9．对称算子自共轭扩张的谱 169
10．两个子空间的张度 171
11．半有界算子的扩张 176
第五章 对称微分算子 178
§15．基本概念 178
1．自共轭微分表达式 178
2．拟导数 179
§16．广义线性微分方程 180
3．拉格朗日公式 180
1．向量函数空间的一阶方程 181
2．方程l（y）＝f的解的存在性和唯一性定理 184
3．齐次方程解的性质 186
4．非齐次方程的解 188
§17．自共轭微分表达式所产生的算子 189
1．算子L 189
2．算子L？ 190
3．正则情形下的算子L0 191
4．奇异情形下的算子L0 197
5．一个奇异端点的情形 201
1．算子L0的自共轭扩展的描述 203
§18．算子L0的自共轭扩展 203
2．正则微分算子的边界条件 208
3．有一奇异端点的、亏指数为（n，n）的算子的情形 209
4．实扩展 211
§19．算子L0的自共轭扩展的豫解式 212
1．若干引理 212
2．算子有正则端点时的情形 214
3．算子有两个奇异端点的情形 221
4．算子L0的自共轭扩展的谱的一般定理 223
§20．自共轭算子谱的重数 226
1．有简单谱的算子 226
第六章 微分算子的谱分析 226
2．空间L？和算子△σ 227
3．有简单谱的自共轭算子的典则形式 230
4．有有限重数的谱的算子 231
5．相应于矩阵分布函数的空间L？和算子△σ 231
6．有n重谱的自共轭算子的一般典则形式 233
7．非正常的生成基 234
§21．按特征函数的展开式 236
1．定向泛函 236
2．反演公式 242
3．一个正则端点的情形 259
4．谱分布函数公式 263
5．例子 268
第七章 微分算子的亏指数和谱对其系数性质的依赖性 274
§22．当自变量值甚大时微分方程解的渐近性质 274
1．一阶线性微分方程组的解的渐近性质 274
2．2n阶线性微分方程解的渐近性质 298
§23．微分算子的亏指数 319
1．对系数Pn加一有界项后引起的变化 319
2．§22定理7的应用 319
3．§22定理8的应用 320
4．§22定理9的应用 322
5．§22定理10的应用 331
6．二阶算子的亏指数 332
§24．微分算子的谱的研究 336
1．分解法的应用 336
2．系数为可积函数的情形 341
3．Pn（x）→＋∞的情形 355
4．Pn（x）→－∞的情形 357
5．二阶微分算子谱的离散性判别法 368
6．量子力学中的例 375
第八章 施图模-刘维尔反问题 388
§25．正交化核 389
1．正交化核的定义 389
2．函数K1（x，t）的非线性积分方程 392
3．函数K（x，y）的线性积分方程 394
§26．施图模-刘维尔反问题的解 397
1．对谱分布函数加的条件 397
2．关于正交化核的线性积分方程的研究 399
3．函数φ（χ，λ）及同它有关的巴塞华等式 402
4．函数φ（χ，λ）的微分方程 406
5．基本定理 410
6．纯离散谱的情形 411
7．基本定理的各种推广 412
附录 斯蒂吉斯反演公式 414
参考交献 417