第一章 数学模型和偏微分方程的基本概念 1
第一节 数学模型 1
一、弦的微小横振动 1
二、热传导万程 3
三、静电场的势方程 4
第二节 定解条件及定解问题 6
一、初值条件及Cauchy问题 6
二、边界条件及边值问题、混合问题 7
第三节 偏微分方程的基本概念和叠加原理 10
一、偏微分万程的基本概念 10
二、叠加原理 10
三、定解问题的适定性 12
习题一 13
一、有界弦的自由振动 15
第一节 齐次方程、齐次边界的定解问题 15
第二章 分离变量法 15
二、矩形薄板稳恒状态下温度分布 19
三、杆的热传导问题 21
第二节 非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题 23
一、非齐次万程的固有函数法 23
二、非齐次边界条件的齐次化 25
三、稳定的非齐次问题 27
四、控制消振问题 28
第三节 高阶、高维方程定解问题的分离变量法 30
第四节 极坐标系或球坐标系下的分离变量法，特殊函数 34
一、幂级数解法 36
二、Bessel函数 40
三、Legendre函数 48
第五节 波动方程混合问题的适定性 52
一、能量积分 52
二、能量守恒、唯一性 53
三、能量不等式、稳定性 54
第六节 Sturmn-Liouville问题 56
一、函数空间、函数在正交？下的分解 56
二、Sturm-Liouville问题 57
附录 61
一、高阶线性常微分方程的常数变异法 61
二、二重付氏级数 63
三、Г函数 63
四、Bessel函数简表 65
五、Bessel函数的零点分布 66
习题二 66
第三章 积分变换法 70
第一节 Fourier变换及其性质 70
一、Fourier变换 70
二、Fourier变换基本性质 72
第二节 热传导方程Cauchy问题 75
一、Poisson公式 75
二、解的物理意义 77
三、半无限杆的热传导问题 78
第三节 Laplace变换及其性质 80
一、Laplace变换 80
二、Laplace变换性质 81
三、应用举例 85
第四节 极值原理、热传导方程定解问题的适定性 86
一、极值原理 86
二、解的唯一性与稳定性 88
第五节 δ函数 90
一、δ函数的定义 90
二、δ函数的性质 91
一、弱收敛函数序列的弱极限 95
第六节 δ函数的另一种定义、热传导方程的基本解 95
二、热传导方程的基本解 96
附录 98
一、Fourier变换简表 98
二、Laplace变换简表 99
习题三 100
第四章 行波法 103
第一节 一维波动方程的Cauchy问题 103
一、D Alembert公式 103
二、解的讨论 104
三、依赖区间、影响区域、决定区域 106
四、齐次化原理 109
第二节 半无限弦的振动、中值公式 111
一、半无限弦的振动 111
二、中值公式及其应用 113
第三节 三维波动方程的Cauchy问题 115
一、球面平均值 116
二、Poisson公式 117
三、解的物理意义、Huygens原理 120
第四节 二维波动方程的Cauchy问题 121
一、降维法、Poisson公式 121
二、解的物理意义、波的弥散 123
习题四 124
第五章 格林函数法 127
第一节 Laplace方程的基本解 127
一、球对称解与柱对称解 127
二、基本解 128
第二节 Green公式及其应用 130
一、Green公式 130
二、调和函数性质 130
三、Dirichlet问题的唯一性及稳定性 132
一、Green函数 133
第三节 Green函数及其应用 133
二、Laplace方程Dirichlet问题求解举例 135
第四节 Poisson方程 138
习题五 140
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 143
第一节 二阶线性偏微分方程的分类 143
一、变系数情形 143
二、常系数情形 149
第二节 广义解概念与不适定问题举例 151
一、广义解概念 151
二、不适定问题举例 152
第三节 三个方程的比较与小结 153
习题六 156
一、差分方程的建立 158
第七章 偏微分方程的数值解法 158
第一节 抛物型方程的差分格式 158
二、相容性、收敛性、稳定性 160
三、研究稳定性的Fourier方法 162
四、二维热传导方程的交替方向法 163
第二节 双曲型方程的差分格式 165
一、一阶双曲型方程的差分格式 165
二、二阶双曲型方程的差分格式 168
三、定解条件的处理 169
第三节 椭圆型方程的差分格式 170
一、差分方程的建立 170
二、差分方程组的可解性及收敛性 173
三、差分格式求解 174
习题七 176
习题参考答案 178