第一部分 离散反演问题 1
第一章 一般离散反演问题 1
1.1 模型空间和数据空间 1
1.1.1 模型空间 2
1.1.2 数据空间 6
1.1.3 联合空间D×M 7
1.1.4 符号 8
1.2 信息状态 10
1.2.1 概率的数学概念 10
1.2.2 概率的解释 14
1.2.3 全知状态 19
1.2.4 完全无知状态（或参考信息状态） 19
1.2.5 信息量的Shannon测度 26
1.2.6 信息状态的组合 27
1.3 物理理论得到的信息（求解正问题） 30
1.4 测量得到的信息和先验信息 34
1.4.1 测量结果 34
1.4.2 模型参数的先验信息 37
1.4.3 D×M空间的联合先验信息 47
1.5 确定反演问题的解 47
1.5.1 实验、先验和理论信息的组合 47
1.5.2 反演问题的求解 49
1.5.3 一些特殊情况 50
1.6 反问题解的利用 55
1.6.1 描述模型空间的后验信息 55
1.6.2 误差和分辨分析 57
1.6.3 解析解 58
1.6.4 模型空间的系统探索 59
1.6.5 Monte Carlo法 59
1.6.6 最大似然点的计算 59
1.7 几种特殊情况 61
1.7.1 高斯假设（最小二乘准则）。情况d=g(m) 61
1.7.2 高斯假设（最小二乘准则）。情况f(d,m)=0 70
1.7.3 广义高斯假设（最小绝对值准则，极小极大准则） 75
补充1.1 中心估计和离差估计值 16
补充1.2 广义高斯型 24
补充1.3 对数正态概率密度函数 44
补充1.4 利用贝叶斯方法解反演问题 53
第一章的问题 78
第二章 尝试法 151
第二章的问题 154
第三章 Monte Carlo法 155
3.1 寻找容许模型的范围 156
3.2 方差与协方差的非线性计算 158
3.3 模拟热处理 164
补充3.1 数值积分的Monte Carlo法 161
第四章 最小二乘（l2—范数）准则 173
4.1 最小二乘法的引入 173
4.2 求解方法（Ⅰ） 176
4.2.1 模型空间的系统搜索 176
4.2.2 尝试法 177
4.2.3 松弛法 177
4.2.4 Monte Carlo法 177
4.2.5 高斯-牛顿法 178
4.2.8 解的特征 181
4.3 误差和分辨分析 182
4.3.1 后验协方差算子的计算 182
4.3.2 后验协方差算子的解释 184
4.3.3 分辨算子 185
4.3.4 特征向量分析 187
4.3.5 数据空间中后验协方差算子，数据的重要性 184
4.3.6 残差是否太大？ 195
4.4 离散最小二乘的数学问题 197
4.4.1 距离、范数和标积的最小二乘定义 197
4.4.2 对偶空间 200
4.4.3 S(m)的梯度、海赛（Hesse）算子、最速上升方向和曲率 208
4.4.4 梯度法的引入 211
4.4.5 最优化方法的选择 218
4.5 求解方法（Ⅱ） 220
4.5.1 预条件最速下降法 220
4.5.2 预条件共轭方向法 221
4.5.3 拟牛顿法 222
4.5.4 变尺度法 223
4.6 线性问题的特殊公式 227
4.6.1 预条件最速下降法 228
4.6.2 预条件共轭方向法 228
4.6.3 牛顿法 228
4.6.4 变尺度法 229
4.7 可线性化问题的特殊公式 229
4.7.1 预条件最速下降法 230
4.7.2 预条件共轭方向法 230
4.7.3 牛顿法 231
4.7.4 变尺度法 231
补充4.1 协方差矩阵的平方根 190
补充4.2 Lanczos分解 191
补充4.3 距离、范数和标积 198
补充4.4 “核”的不同意义 204
补充4.5 转置算子和伴随算子 206
补充4.6 符号O（‖δm‖r） 210
补充4.7 梯度和最速上升方向 214
补充4.8 什么是代数重建法？ 226
第四章的问题 262
第五章 最小绝对值（l1范数）准则和极小极大（l∞范数）准则 271
5.1 lp范数 272
5.1.1 加权lp范数的定义 272
5.1.2 lp空间的对偶空间 273
5.1.3 解反演问题的lp范数准则 280
5.2 求解反演问题的l1范数准则 283
5.2.1 线性问题 283
5.2.2 非线性问题 288
5.3 l1范数准则和最速下降法 291
5.3.1 梯度和最速上升方向 292
5.3.2 算法 293
5.4 l1范数准则和线性规划方法 295
5.4.1 FIFO方法 395
5.4.2 FIFO算法 300
5.4.3 应用于非线性问题 302
5.5 利用Cauchy概率密度的健全性反演 308
5.6 求解反问题的l∞范数准则 312
5.7 l∞范数和最速下降法 315
5.7.1 梯度和最速上升方向 315
5.7.2 算法 316
5.8 l∞范数准则和线性规划方法 316
补充5.1 lp范数空间内最速上升方向和梯度 277
补充5.2 多维指数概率 288
补充5.3 线性规划中的单纯形法 302
补充5.4 利用线性规划的l1范数极小化 305
补充5.5 Cauchy概率密度 311
补充5.6 线性规划中的对偶问题 318
补充5.7 线性规划中的松弛变量 320
附录5.1 lp范数极小化的牛顿步长 322
附录5.2 lp范数的梯度法 323
第五章的问题 336
第二部分 一般反演问题 352
第六章 一般问题 352
6.1 函数空间的随机过程 353
6.1.1 随机函数的描述 353
6.1.2 计算概率 356
6.1.3 协方差函数可给出随机函数的方便描述吗？ 361
6.1.4 一般随机过程 362
6.2 一般反演问题的解 364
补充6.1 作为对偶空间上标积的协方差算子 357
补充6.2 柱测度 358
补充6.3 Backus的贝叶斯观点（1970） 365
第七章 泛函空间中的最小二乘准则 368
7.1 协方差算子和适用空间 369
7.1.1 线性空间的对偶空间的表示 369
7.1.2 协方差算子的定义 370
7.1.3 协方差函数以及与之相关的随机实现的某些例子 373
7.1.4 随机实现的功率谱等于相关函数的振幅谱 380
7.1.5 加权算子、标积和“最小二乘”范数 382
7.1.6 最小二乘范数和L2范数的关系 386
7.2 泛函空间的微商算子和转置算子 386
7.2.1 微商算子 386
7.2.2 转置算子 396
7.3 一般最小二乘反演 410
7.3.1 线性问题 410
7.3.2 非线性问题 411
7.3.3 可线性化问题 412
7.4 求解方法 413
7.5 实例：X射线层析成象的反演问题 418
7.5.1 迭代解 420
7.5.2 牛顿非迭代解 426
7.6 实例：声波波形反演 429
7.7 误差与分辨分析 438
7.7.1 误差分析 439
7.7.2 分辨分析 440
7.7.3 分辨核与后验协方差函数的实际计算 444
7.8 形式上的实例 444
补充7.1 微商算子的转置和伴随 402
补充7.2 Backus—Gilbert方法 414
补充7.3 一阶Born和Rytov近似 435
附录7.1 空间和算子：基本定义和性质 455
附录7.2 常用泛函空间 470
第七章的问题 475
参考文献 530