目录 1
第1章 高中数学开放性问题概论 1
1.1 数学开放性问题研究综述 1
1.1.1 数学开放性问题的沿革 1
1.1.2 数学开放性问题的概念与分类 3
1.1.3 数学开放性问题的教育价值 4
1.1.4 数学开放性问题教学设计的原则 5
1.2.1 对数学开放性问题的认识 6
1.2 个性化的认识及教学尝试 6
1.2.2 在教学中使用数学开放性问题的尝试 8
1.3 数学开放性问题的编制 12
第2章 集合与命题 19
2.1 存在判断型 19
2.1.1 作为元素的集合 19
2.1.2 数字变奏曲 19
2.1.3 集合A的元素恰好不在集合B中 20
2.1.4 元素和相等的子集 21
2.1.5 构造真命题 22
2.1.6 与其子集元素个数一样多的集合 23
2.2 结论发散型 24
2.2.1 概念系 24
2.2.2 集合方程 25
2.2.3 约数集的个数 25
2.2.4 集合间的条件关系 26
2.2.5 集合的描述 27
2.3 归纳发现型 29
2.3.1 两圆的对称轴方程 29
2.3.2 斜边的范围 30
2.3.3 验算后的猜想 31
2.4 方法探究型 33
2.4.1 零值代入法 33
2.4.2 平面点集 35
2.4.3 相等的集合 36
2.5 信息迁移型 38
2.5.1 集合的差运算 38
2.5.2 集合的运算“。” 39
本章探究实践 40
本章探究实践参考答案 42
第3章 不等式 46
3.1 反溯条件型 46
3.1.1 给定解集的不等式 46
3.1.2 符合条件的不等式 47
3.1.3 乘积的最值 48
3.1.4 不等式间的条件关系 49
3.2 归纳发现型 50
3.2.1 数字的奥秘 50
3.2.2 推广不等式 51
3.2.3 sin（cosα）与cos（sinα）哪个大 52
3.3 模式应用型 55
3.3.1 函数模型 55
3.3.2 几何模型与分形 57
3.3.3 三角模型 59
3.3.4 数列模型 61
3.3.5 不等式模型 61
3.4 反思实践型 63
3.4.1 基本不等式求最值 63
3.4.2 函数值的范围 64
3.4.3 函数的值域 65
本章探究实践 67
本章探究实践参考答案 69
第4章 复数与向量 73
4.1 存在判断型 73
4.1.1 复数中的实数a 73
4.1.2 虚数z是否存在 74
4.1.3 带有对数式的复数 75
4.1.4 复系数的一元二次方程 76
4.1.5 实系数的一元二次方程 77
4.2 反溯条件型 79
4.2.1 成为共轭复数的条件 79
4.2.2 向量？与？平行的条件 80
4.2.3 平面中的正三角形 80
4.2.4 实系数方程的根 81
4.2.5 三点共线的条件 82
4.3 结论发散型 84
4.3.1 复数方程表示的点集 84
4.3.2 探索zn＋？的可能值 85
4.3.3 关于ω的代数式 86
4.3.4 复数z与单位圆 87
4.3.5 能否求出z1/z2的值 88
4.3.6 机器人问题 89
4.4 构造设计型 92
4.4.1 编写方程 92
4.4.2 编写方程组 92
4.4.3 构造复数不等式表示封闭区域 93
4.5.1 复数模的最大值 95
4.5 策略发散型 95
4.5.2 解复方程 97
4.5.3 ？的符号 98
4.5.4 如何求复数z1＋z2的模 100
4.6 错解分析型 103
4.6.1 求函数最值错在哪里 103
4.6.2 哪个是最大值 104
4.7 信息迁移型 106
4.7.1 推断z＋？为实数的条件 106
4.7.2 模相等的复数 107
本章探究实践 109
本章探究实践参考答案 110
第5章 函数 114
5.1 反溯条件型 114
5.1.1 成为同一函数 114
5.1.2 函数的反函数 115
5.1.3 是什么函数 116
5.1.4 缺什么补什么 117
5.1.5 不完整的命题 118
5.2.1 一道看不明白的题目 120
5.2 探索结论型 120
5.2.2 写函数解析式 121
5.2.3 符合增减性的p值 122
5.2.4 弦长的射影 124
5.2.5 推断解析式 125
5.3 知识巩固型 126
5.3.1 奇偶函数的性质 126
5.3.2 相关函数图象之间的关系 126
5.3.3 正弦与余弦 127
5.4.1 函数不等式能成立吗 129
5.4 存在判断型 129
5.4.2 图象的公共点 130
5.4.3 根为三角形内角的正弦值 131
5.4.4 多余条件 131
5.4.5 夹在两个函数之间的函数 132
5.5 建模分析型 134
5.5.1 汽车能行驶多远 134
5.5.2 限定区域的驾驶问题 135
5.5.3 如何进货 136
5.6.1 斜率属于集合K的函数 139
5.6 信息迁移型 139
5.6.2 均值为C的函数 140
5.6.3 k阶格点函数 140
5.6.4 迭代函数值为双元素集合的函数 141
5.6.5 优惠率的确定 141
5.7 解答评价型 143
5.7.1 常量与变量混淆 143
5.7.2 错在哪里 144
5.7.3 对解题过程的反思 146
本章探究实践 149
本章探究实践参考答案 151
第6章 空间图形 154
6.1 信息迁移型 154
6.1.1 向量的混合积 154
6.1.2 两平面所成角的新定义 155
6.1.3 点到面的距离 158
6.1.4 多面体的“直度” 162
6.1.5 异面直线距离 164
6.2.1 农户粮仓设计 166
6.2 方案设计与筛选型 166
6.2.2 规则方式打包 167
6.2.3 罐内液体的估计 168
6.2.4 景观工程 169
6.2.5 山腰居民取水 171
6.3 结论发散型 173
6.3.1 长方体对角线定理 173
6.3.2 四面体体积 175
6.3.3 正四棱锥中的角 177
6.3.4 侧棱两两垂直的三棱锥 180
6.3.5 面面垂直的演变 181
6.4 策略开放型 183
6.4.1 必胜选择 183
6.4.2 确定求体积的策略 184
6.4.3 平行六面体中的方法 186
6.4.4 三角目标的最小值 191
6.5 类比推广型 193
6.5.1 四面体的重心 193
6.5.2 正四面体中的距离 194
6.5.3 空间勾股定理 195
6.5.4 到两定点距离之差最大 196
6.5.5 类似的结论 197
6.6 判断探究型 199
6.6.1 四面体的截面 199
6.6.2 点运动的位置 200
6.6.3 四个角都是直角 202
6.6.4 θ角的确定 203
6.6.5 能否成为正方形 204
6.7.1 一组填空题 207
6.7 反溯条件型 207
6.7.2 求救的信号 209
6.7.3 高考问题的改变 211
6.7.4 正三棱柱中的垂直 213
6.7.5 棱锥体积最大 215
6.8 存在判断型 217
6.8.1 动点的位置是否存在 217
6.8.2 分体积相等 218
6.8.3 动点的轨迹 219
6.8.4 120°的二面角 221
6.8.5 构造长方体 222
本章探究实践 223
本章探究实践参考答案 226
第7章 曲线与方程 231
7.1 反溯条件型 231
7.1.1 过定点的定直线 231
7.1.2 平移的曲线 232
7.1.3 已知切线的圆 233
7.1.4 顶点的条件 234
7.2 存在判断型 237
7.2.1 过定点的直线与线段相交 237
7.2.2 直线与双曲线的交点 238
7.2.3 三角形面积的最值 241
7.2.4 有公共焦点的曲线 242
7.3 结论发散型 245
7.3.1 只有一个交点的圆和抛物线 245
7.3.2 直角三角形的顶点 246
7.3.3 不同坐标系下的方程 247
7.3.4 方程的不同曲线 250
7.4 信息迁移型 253
7.4.1 点集的运算 253
7.4.2 函数的最值 254
本章探究实践 256
本章探究实践参考答案 257
第8章 数列 261
8.1 信息迁移型 261
8.1.1 递推数列 261
8.1.2 发散数列的收敛子数列 262
8.1.3 有界数列的收敛子数列 263
8.2 举例说明型 265
8.2.1 Sn＝a·n2＋b·n＋c型的非等差数列 265
8.2.2 极限相等的数列 265
8.2.3 极限大于0的数列 266
8.3 构造设计型 268
8.3.1 递推数列的实际背景 268
8.3.2 再找一个已知模型的应用 268
8.3.3 等差数列前n项和的模型设计 269
8.4.1 式子的规律 271
8.4 发现规律型 271
8.4.2 寻找堆放规律 272
8.4.3 写数列的通项公式 272
8.4.4 数列中是否出现了5的倍数 273
8.5 归纳总结型 275
8.5.1 通项与前n项和 275
8.5.2 评价不同的证明方法 276
8.5.3 等差数列的和与项 277
8.5.4 等比数列和的极限 278
8.5.5 增长无限、高度有限 280
8.6 问题探究型 283
8.6.1 公差由你确定 283
8.6.2 等差数列前两项形成的等比数列 284
8.6.3 是否为数列中的项 285
本章探究实践 286
本章探究实践参考答案 287
第9章 排列、组合、概率统计初步与决策 289
9.1 信息迁移型 289
9.1.1 再生数 289
9.1.2 排列数 290
9.1.3 秘书打信 291
9.1.4 环状排列 292
9.1.5 不尽相异元素的全排列 292
9.2 结论发散型 294
9.2.1 车站问题 294
9.2.2 确定正整数 294
9.2.3 能做几个图形 295
9.2.4 扑克牌游戏 296
9.2.6 组合恒等式 297
9.2.5 戴错帽子 297
9.3 存在判断型 299
9.3.1 相邻三项构成等比数列 299
9.3.2 展开式是否同时含有常数项 299
9.3.3 总统与发言人 300
9.4 方案设计 302
9.4.1 花圃栽种植物 302
9.4.2 投资方案决策 303
9.4.3 世界杯足球赛 304
本章探究实践 305
本章探究实践参考答案 306
第10章 综合实践 309
10.1 信息迁移型 309
10.1.1 极限的“双夹”定理 309
10.1.2 数列发生器 311
10.1.3 运算封闭性 313
10.1.4 替代函数 313
10.1.5 潮汐问题 314
10.1.6 函数的不动点 316
10.2 方案设计型 319
10.2.1 开发区的道路网 319
10.2.2 防洪抢险 320
10.2.3 不合实际的方案 321
10.2.4 飞播种草 322
10.2.5 蔬菜上残留的农药 324
10.3 观察归纳推广型 326
10.3.1 不等命题的推广 326
10.3.2 二阶等差数列 327
10.3.3 焦点弦的条数 328
10.3.4 等比数列的Sn→m 329
10.3.5 糖水中的不等式 330
10.4 反溯条件型 332
10.4.1 写错的sin（α＋β） 332
10.4.2 计算装置 333
10.4.3 单调的二次函数 334
10.4.4 三棱锥中的二面角 335
10.4.5 n2个实数的方阵 336
10.5.1 集合中的命题 338
10.5 判断探究型 338
10.5.2 最小自然数 339
10.5.3 十字路口立交桥 341
10.5.4 恒小于后面的项 342
10.5.5 动点轨迹恰为圆 344
10.6 存在判断型 347
10.6.1 交集上的点 347
10.6.2 多项式中的系数 348
10.6.3 坐标平面上的变换 350
10.6.4 最小的整数 352
10.6.5 α存在吗 353
10.7 综合型 356
10.7.1 新不等式的特征 356
10.7.2 组合数的性质 357
10.7.3 恰为固定的值域 359
10.7.4 摸彩的方案 360
10.7.5 滑棒在抛物面内停留在何处 361
本章探究实践 364
本章探究实践参考答案 368