第一章 数学物理方程的导出 1
1 引言 1
2 迁移方程导出数学物理方程 3
2.1 一般迁移方程 3
2.2 流体力学方程且 5
2.3 热传导方程 8
习题 12
3 Hamilton原理与数学物理方程 13
3.1 Hamilton原理与极小势能 13
3.2 变分问题的Euler方程 14
3.3 弦振动与膜振动方程 17
3.4 位势方程与极小曲面方程 21
习题 22
第二章 一些经典解法 23
1 无界弦的振动 23
1.1 D Alembert公式 23
1.2 半无界弦的振动 25
习题 28
2 分离变量方法 29
2.1 两端固定弦的振动 29
2.2 常微分方程的本征值问题 32
习题 36
3 分离变量法的实例 37
3.1 热传导方程第二边值条伯的初边值问题 37
3.2 圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题 39
习题 41
4.1 一阶线性偏微方程 42
4 特征方法 42
4.2 一阶拟性偏微分方程 45
习题 47
5 特征方法在非线性问题中应用举例 48
5.1 人口分布问题 48
5.2 交流流问题 51
习题 55
第三章 偏微方程 57
1 一般概念与适定性 57
2 Caychy-Kowalewski定理 60
3 Hadamard的反例与Lewy的反例 65
3.1 Hadamard的反例 65
3.2 Lewy的反例 66
4 方程的分类 68
习题 71
5 两个自变量二阶方程的简化 72
习题 77
6 叠加原理与齐次化原理 77
6.1 叠加原理 77
6.2 Duhamel原理 79
习题 81
第四章 椭圆型方程 82
1 广义函数的概念 82
1.1 集中分布 82
1.2 广义函数的定义 84
1.3 广义函数的导数 86
1.4 广义函数的支集 88
习题 89
2.1 基本解 90
2 基本解与Green函数 90
2.2 Green函数 93
习题 96
3 应用Geen函数求定解问题例 97
习题 103
4 极值原理 104
习题 107
5 第二边值问题解的唯一性 108
习题 110
6 调和函数的性质 111
习题 114
第五章 抛物型方程 115
1 广义函数的Fourier变换 115
习题 121
2.1 热传导方程的基本解 122
2 Cauchy问题 122
2.2 Cauchy问题 124
习题 125
3 初边值问题的极值原理 127
习题 130
4 Cauchy问题的先验估计 131
习题 133
5 热传导方程初边值问题 134
习题 137
第六章 双典型方程 138
1 基本解及Cauchy问题 138
1.1 波动方程的基本解 138
1.2 Cauchy问题的解 142
习题 145
2 广义解 146
2.1 降维法 146
2.2 Huygens现象 147
习题 149
3 能量积分及唯一性与稳定性 150
3.1 初边值问题的能量积分 150
3.2 Cauchy问题的能量不等式 153
习题 156
4 特征概念 158
习题 161
第七章 变分方法及广义解 163
1 Hilbert空间及Sobolev空间 163
1.1 Hilbert空间 163
1.2 Riesz表示定理 166
习题 168
2 广义解 169
习题 174
3 广义解的适定性 175
习题 179
4 近似解法 180
4.1 Ritz方法 180
4.2 Galerkin方法 182
4.3 进一步的应用 184
习题 186
5 有限元方法介绍 187
习题 192
附录 Sturm-Liouville问题 193