第一章 绪论 1
1 数值分析的对象与特点 1
2 误差来源与误差分析的重要性 2
3 误差的基本概念 4
3.1 误差与误差限 4
3.2 相对误差与相对误差限 5
3.3 有效数字 5
3.4 数值运算的误差估计 7
4 数值运算中误差分析的方法与原则 8
习题 12
1 引言 13
第二章 插值法 13
2 拉格朗日插值 14
2.1 插值多项式的存在唯一性 14
2.2 线性插值与抛物插值 15
2.3 拉格朗日插值多项式 16
2.4 插值余项 17
3 逐次线性插值法 20
4 均差与牛顿插值公式 21
4.1 均差及其性质 21
4.2 牛顿插值公式 23
5 差分与等距节点插值公式 24
5.1 差分及其性质 24
5.2 等距节点插值公式 26
6 埃尔米特插值 28
7 分段低次插值 30
7.1 多项式插值的问题 30
7.2 分段线性插值 31
7.3 分段三次埃尔米特插值 32
8 三次样条插值 33
8.1 三次样条函数 34
8.2 三转角方程 34
8.3 三弯矩方程 37
8.4 计算步骤与例题 38
8.5 三次样条插值的收敛性 38
习题 40
第三章 函数逼近与计算 43
1 引言与预备知识 43
1.1 问题的提出 43
1.2 维尔斯特拉斯定理 44
1.3 连续函数空间C[a，b] 45
2 最佳一致逼近多项式 45
2.1 最佳一致逼近多项式的存在性 45
2.2 切比雪夫定理 46
2.3 最佳一次逼近多项式 48
2.4 里姆斯算法 49
3 最佳平方逼近 50
3.1 内积空间 50
3.2 函数的最佳平方逼近 53
4 正交多项式 55
4.1 勒让德多项式 55
4.2 切比雪夫多项式 58
4.3 其他常用的正交多项式 60
5 函数按正交多项式展开 61
6 近似最佳一致逼近多项式 63
6.1 截断切比雪夫级数 63
6.2 拉格朗日插值余项的极小化 65
6.3 泰勒级数项数的节约 67
7.1 一般的最小二乘逼近 68
7 曲线拟合的最小二乘法 68
7.2 用正交函灵敏作最小二乘拟合 71
7.3 多元最小二乘拟合 73
8 傅立叶逼近与快速傅立叶变换 74
8.1 最佳平方三角逼近与三角插值 74
8.2 快速傅氏变换（FFT） 76
习题 80
第四章 数值积分与数值微分 83
1 引言 83
1.1 数值求积的基本思想 83
1.2 代数精度的概念 84
1.3 插值型的求积公式 84
2.1 柯特斯系数 85
2 牛顿-柯特斯公式 85
2.2 偶阶求积公式的代数精度 87
2.3 几种低阶求积公式的余项 87
2.4 复化求积法及其收敛法 88
3 龙贝格算法 90
3.1 梯形法的递推化 90
3.2 龙贝格公式 92
3.3 李查逊外推加速法 93
3.4 梯形法的余项展开式 95
4 高斯公式 96
4.1 高斯点 97
4.2 高斯-勒让德公式 98
4.4 高斯公式的稳定性 99
4.3 高斯公式的余项 99
4.5 带权的高斯公式 100
5 数值微分 101
5.1 中点方法 101
5.2 插值型的求异公式 103
5.3 实用的五点公式 105
5.4 样条求导 106
习题 106
第五章 常微分方程数值解法 108
1 引言 108
2 尤拉方法 108
2.1 尤拉公式 108
2.2 后退的尤拉公式 110
2.3 梯形公式 111
2.4 改进的尤拉公式 112
2.5 尤拉两步公式 113
3 龙格-库塔方法 115
3.1 泰勒级数法 115
3.2 龙格-库塔方法的基本思想 116
3.3 二阶龙格-库塔方法 117
3.4 三阶龙格-库塔方法 118
3.5 四阶龙格-库塔方法 119
3.6 变步长的龙格-库塔方法 121
4.1 单步法的收敛性 122
4 单步法的收敛性和稳定性 122
4.2 单步法的稳定性 124
5 线性多步法 126
5.1 基于数值积分的构造方法 126
5.2 亚当姆斯显式公式 126
5.3 亚当姆斯隐式公式 127
5.4 亚当姆斯预测-校正系统 128
5.5 基于泰勒展开的构造方法 130
5.6 米尔尼公式 131
5.7 哈明公式 132
6 方程组与高阶方程的情形 133
6.1 一阶方程组 133
6.2 化高阶方程组为一阶方程组 134
7 边值问题的数值解法 135
7.1 试射法 136
7.2 差分方程的建立 136
7.3 差分问题的可解性 138
7.4 差分方程的收敛性 139
习题 141
第六章 方程求根 143
1 根的搜索 143
1.1 逐步搜索法 143
1.2 二分法 143
2 迭代法 145
2.1 迭代过程的收敛性 145
2.2 迭代公式的加工 148
3 牛顿法 150
3.1 牛顿公式 150
3.2 牛顿法的几何解释 151
3.3 牛顿法的局部收敛性 151
3.4 牛顿法应用举例 153
3.5 牛顿下山法 154
4 弦截法与抛物线法 155
4.1 弦截法 155
4.2 抛物线法 158
5 代数方程求根 160
5.1 多项式求值的秦九韶算法 160
5.3 劈因子法 161
5.2 代数方程的牛顿法 161
习题 163
第七章 解线性方程组的直接方法 165
1 引言 165
2 高斯消去法 165
2.1 高斯消去法 165
2.2 矩阵的三角分解 169
2.3 计算量 170
3 高斯主元素消去法 171
3.1 完全主元素消去法 173
3.2 列主元素消去法 174
3.3 高斯-若当消去法 176
4 高斯消去法的变形 178
4.1 直接三角分解法 178
4.2 平方根法 181
4.3 追赶法 185
5 向量和矩阵的范数 192
6 误差分析 192
6.1 矩阵的条件数 192
6.2 舍入误差 196
习题 198
第八章 解线性方程组的迭代法 202
1 引言 202
2.1 雅可比迭代法 204
2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法 204
2.2 高斯-塞德尔迭代法 205
3 迭代法的收敛性 206
4 解线性方程的组的超松弛迭代法 213
习题 217
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 220
1 引言 220
2 幂法及反幂法 221
2.1 幂法 221
2.2 加速方法 225
2.3 反幂法 227
3.1 引言 229
3 雅可比方法 229
3.2 雅可比方法 230
3.3 雅可比过关法 235
4 豪斯荷尔德法 236
4.1 引言 236
4.2 用正交相似变换约化矩阵 239
5 QR算法 243
5.1 引言 243
5.2 QR算法 245
5.3 带原点位移的QR方法 248
习题 252
部分习题答案 254