第1章 计算方法的一般概念 1
1．1 算法 1
1．2 误差 4
1．2．1 误差的来源与分类 4
1．2．2 误差与准确数字 4
1．2．3 数据误差影响的估计 6
1．2．4 机器数与舍入误差 7
1．2．5 算法的稳定性 10
习题一 12
实习题一 15
2．1．1 高斯消去法的基本步骤 17
2．1 高斯消去法 17
第2章 解线性代数方程组的直接法 17
2．1．2 高斯消去法的运算量 20
2．1．3 选主元技术 22
2．2 三角分解法 25
2．2．1 杜里特尔分解法 25
2．2．2 克洛特分解法 30
2．2．3 追赶法 32
2．2．4 平方根法 33
2．3 舍入误差对解的影响 35
2．3．1 向量与矩阵的范数 35
2．3．2 舍入误差对解的影响 39
习题二 44
实习题二 46
第3章 插值法 48
3．1 插值多项式的概念 48
3．1．1 插值多项式的定义 48
3．1．2 插值多项式的存在与唯一性 49
3．1．3 插值多项式的截断误差 51
3．2 拉格朗日插值法 54
3．2．1 拉格朗日插值多项式 54
3．2．2 截断误差的实用估计法 58
3．3 逐次线性插值法 59
3．4 牛顿插值法 64
3．4．1 牛顿插值多项式 65
3．4．2 差商的性质 68
3．5 带导数的插值多项式 70
3．5．1 推广牛顿插值法 70
3．5．2 构造基函数法 71
3．6 分段插值法与样条函数插值法 73
3．6．1 高次插值多项式的缺陷 73
3．6．2 分段低次插值法 75
3．6．3 三次样条函数 78
3．6．4 三次样条插值 79
习题三 84
实习题三 88
4．1．1 最优平方逼近函数 90
第4章 函数最优逼近法 90
4．1 最优平方逼近法 90
4．1．2 正规方程组 93
4．2 正交多项式 100
4．2．1 正交函数系 100
4．2．2 正交多项式性质 105
4．3 最优一致逼近法 108
4．3．1 最优一致逼近的概念 108
4．3．2 切比雪夫多项式的性质 110
4．3．3 近似最优一致逼近多项式的求法 112
4．3．4 函数值的计算方法 115
习题四 118
实习题四 120
第5章 数值微积分 121
5．1 牛顿-柯特斯求积公式 121
5．1．1 牛顿-柯特斯求积公式 121
5．1．2 复化求积公式 123
5．1．3 变步长积分法 125
5．1．4 龙贝格积分法 128
5．2 待定系数法与高斯型求积公式 131
5．2．1 代数精度与待定系数法 131
5．2．2 广义佩亚诺定理 133
5．2．3 高斯型求积公式 135
5．2．4 常用高斯型求积公式 140
5．2．5 求积公式的舍入误差 143
5．3 数值微分法 144
5．3．1 近似替代法 144
5．3．2 待定系数法与广义佩亚诺定理 148
5．3．3 外推极限法 149
习题五 151
实习题五 152
第6章 方程与方程组的迭代解法 153
6．1 方程求根法 153
6．1．1 试探法与二分法 153
6．1．2 迭代法及其收敛条件 154
6．1．3 迭代法收敛速度 158
6．1．4 加速收敛技术 159
6．1．5 牛顿迭代法的导出 162
6．1．6 牛顿迭代法的收敛性 164
6．1．7 弦割法 167
6．2 线性代数方程组迭代解法 170
6．2．1 基本迭代法 170
6．2．2 基本迭代法收敛条件 174
6．3 非线性代数方程组的迭代解法 180
6．3．1 简单迭代法 180
6．3．2 牛顿迭代法 182
6．3．3 布洛顿算法 185
习题六 187
实习题六 190
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 191
7．1 乘幂法与反幂法 191
7．1．1 乘幂法 191
7．1．2 加速收敛技术 195
7．1．3 反幂法 197
7．2 雅可比法 199
7．2．1 雅可比法基本思想 199
7．2．2 旋转矩阵及其性质 200
7．2．3 雅可比法计算公式及收敛性 201
7．2．4 实用雅可比法 205
7．3．2 一般矩阵的简化 206
7．3．1 基本QR方法 206
7．3 QR方法 206
7．3．3 拟上三角矩阵的QR算法 210
7．3．4 带位移的QR方法 213
习题七 216
实习题七 217
第8章 常微分方程初值问题数值解法 218
8．1 常用数值解法的导出与使用 218
8．1．1 数值微分法 局部截断误差 218
8．1．2 数值积分法 隐式公式的使用 221
8．1．3 泰勒级数法与龙格-库塔法 224
8．1．4 待定系数法 线性多步法 230
8．2．1 误差估计及其推论 235
8．2 数值解中误差的积累 235
8．2．2 绝对稳定性 238
8．2．3 常系数线性差分方程 多步法稳定性 240
8．3 外推极限法 244
8．4 微分方程组与高阶方程解法 248
8．4．1 一阶微分方程组 248
8．4．2 刚性问题 249
8．4．3 高阶微分方程 251
习题八 253
实习题八 254
9．1 常微分方程边值问题 256
9．1．1 差分方程的建立与求解 256
第9章 差分法 256
9．1．2 差分解的误差估计与收敛性 258
9．1．3 一般二阶微分方程边值问题 260
9．1．4 打靶法 261
9．2 椭圆型方程边值问题 262
9．2．1 差分方程的建立和解法 262
9．2．2 差分解的误差估计与收敛性 266
9．2．3 一般二阶椭圆型方程边值问题 269
9．3 抛物型方程初边值问题 271
9．3．1 差分方程的建立与解法 271
9．3．2 差分格式的稳定性 275
9．3．3 差分解的误差估计与收敛性 277
9．3．4 傅里叶稳定性判别法 278
9．3．5 直线法 282
9．4 双曲型方程混合问题 283
9．4．1 差分方程的建立 283
9．4．2 差分格式的稳定性 285
习题九 286
实习题九 289
第10章 有限元法 290
10．1 常微分方程边值问题 290
10．1．1 变分法基本引理 290
10．1．2 等价性定理 291
10．1．3 有限元法 294
10．2 椭圆型方程边值问题 301
10．2．1 等价性定理 302
10．2．2 剖分与插值 305
10．2．3 单元分析 309
10．2．4 总体合成 313
10．2．5 基本方程组 315
10．2．6 解题步骤与例题 315
10．2．7 误差估计与收敛性 319
10．2．8 有限元法与差分法的比较 325
习题十 326
附录 Matlab软件包介绍 329
一、Matlab的进入、退出与工作区 329
2．数字及其运算 330
二、Matlab基础知识介绍 330
1．Matlab的变量 330
3．矩阵的生成 332
4．Matlab内置函数 333
5．多项式及其运算 334
6．运算符 334
7．操作符 335
8．关系运算符 336
9．M文件与M函数 337
10．程序结构与控制 341
11．矩阵的标识 341
12．矩阵的生成 341
14．绘图及图像处理，一元函数作图 343
13．向量的生成 343
三、常用数学计算 344
1．矩阵计算 344
2．线性代数方程组的求解 346
3．方程求根 346
4．数据拟合 349
5．数值插值 353
6．数值微商 353
7．数值积分 353
8．常微分方程初值问题 355
习题 356