第一章 矩阵理论 1
1.1 线性变换及其矩阵表示 1
1.1.1 线性空间上的线性变换 1
1.1.2 线性变换的矩阵表示 3
1.1.3 特征值与特征向量 5
1.1.4 相似矩阵 8
1.2 方阵在相似变换下的标准形 10
1.2.1 方阵的行列式因子、不变因子、初等因子 10
1.2.2 方阵相似的条件 15
1.2.3 方阵在相似变换下的若当标准形 15
1.2.4 方阵在相似变换下的有理标准形 20
1.3 方阵特征值的估计 25
1.3.1 特征值的估计 25
1.3.2 谱半径的估计 30
1.3.3 主特征值及主特征向量的迭代算法 31
1.4 矩阵分析 34
1.4.1 矩阵序列 34
1.4.2 方阵幂级数 35
1.4.3 方阵函数 39
1.5 应用举例一：线性动态系统 47
1.5.1 线性动态系统及其状态空间表达式 47
1.5.2 线性定常系统的解 48
1.5.3 系统的能控性与能观性 49
1.5.4 经济控制论模型 51
1.6 应用举例二：层次分析法 53
1.6.1 问题的提出 53
1.6.2 基本原理 54
1.6.3 基本步骤 55
1.7.1 多元总体和样本 66
1.7 应用举例三：多元统计分析 66
1.7.2 主成分分析 69
1.7.3 聚类分析 74
1.7.4 判别分析 78
1.7.5 在教育管理中的应用举例 80
习题1 82
第二章 泛函分析 89
2.1 距离空间与巴拿赫不动点定理 89
2.1.1 距离空间 89
2.1.2 距离空间中的点集 92
2.1.3 收敛、柯西列、完备性 93
2.1.4 连续映射 96
2.1.5 压缩映射与巴拿赫不动点定理 97
2.2.1 线性赋范空间 99
2.2 线性赋范空间与有界线性泛函 99
2.2.2 有界线性算子 103
2.2.3 有界线性泛函与对偶空间 107
2.3 泛函的极值 109
2.3.1 泛函的变分 109
2.3.2 泛函的极值 111
2.4 应用举例：最优控制 113
2.4.1 最优控制问题的一般提法 113
2.4.2 求解最优控制问题的变分法与最小值原理 114
习题2 118
第三章 凸分析 121
3.1 凸集与凸集分离定理 121
3.1.1 凸集 121
3.1.2 凸集分离定理 122
3.1.3 Farkas引理 125
3.2.1凸函数与凹函数 126
3.2 凸函数与次微分 126
3.2.2 凸函数的次微分 131
3.3 凸函数的极值与凸规划 137
3.3.1 凸函数的极值 137
3.3.2 凸规划 138
3.3.3 共轭函数与对偶凸规划 141
3.4 凸集上的不动点定理 144
3.4.1 Brouwer不动点定理 145
3.4.2 Kakutani不动点定理 145
3.5 应用举例：数理经济 147
3.5.1 厂商的生产利润优化 147
3.5.2 经济的均衡 148
习题3 154
4.1 模糊集 155
4.1.1 模糊现象与模糊集 155
第四章 模糊数学 155
4.1.2 模糊集的隶属函数 156
4.1.3 模糊集的运算 164
4.1.4 分解定理与扩张原理 168
4.1.5 凸模糊集与模糊数 170
4.2 模糊关系 173
4.2.1 模糊关系与模糊矩阵 173
4.2.2 模糊关系的运算与合成 176
4.2.3 模糊等价关系与传递闭包 178
4.3 模糊灰集与灰关系 180
4.3.1 模糊灰集 180
4.3.2 灰关系 181
4.4 应用举例一：模糊多元分析 181
4.4.1 模糊聚类分析 181
4.4.2 模糊数量化方法Ⅰ 186
4.5.1 模糊综合评价 187
4.5 应用举例二：模糊评价与优化 187
4.5.2 模糊线性规划 194
习题4 199
第五章 随机过程 202
5.1 随机过程的一般概念 202
5.1.1 随机过程的直观背景与定义 202
5.1.2 有限维分布函数族与条件数学期望 204
5.1.3 重要的几种随机过程 209
5.2 马尔可夫过程 217
5.2.1 马尔可夫过程的定义 217
5.2.2 马尔可夫链 224
5.2.3 可数状态的马尔可夫过程 244
5.3 应用举例：排队系统分析 253
习题5 255
习题解答 257
1．行列式 278
附录 预备知识 278
一、线性代数中的若干基本知识 278
2．矩阵 279
3．线性方程组 281
二、微积分中的若干基本知识 283
1．极限与连续 283
2．导数与微分 285
3．积分 287
4．级数 287
三、概率论中的若干基本知识 288
1．概率空间 288
2．随机变量及其分布函数 288
3．随机变量序列的收敛性 290
参考文献 292