第一章 引言 1
1.1 科学计算的任务和特点 1
一、用计算机解决实际问题 1
二、数值计算方法的特点 2
1.2 计算机中数的表示 4
一、数字式计算机中数的表示 4
二、计算机的浮点数系 5
1.3 误差 6
一、误差的来源 6
二、误差的基本知识 7
三、浮点运算和舍入误差 8
1.4 条件问题和算法的数值稳定性 10
一、条件问题 10
二、数值稳定性 12
一、三角形方程组及其解法 14
2.1 Gauss消去法 14
第二章 解线性方程组的直接法 14
二、Gauss顺序消去法 16
三、主元素消去法 23
2.2 矩阵的三角分解 33
一、矩阵三角分解的意义和形式 33
二、矩阵的Crout分解 35
三、矩阵的Doolittle分解 39
四、解三对角线方程组的追赶法 45
五、带状对角型线性方程组的列主元消去法 48
2.3 正定矩阵的Cholesky分解 53
一、正定矩阵的三角分解 53
二、正定矩阵的LLT分解 54
三、正定矩阵的LDLT分解 57
2.4 矩阵求逆和行列式计算 60
一、Gauss-Jordan消去法 60
二、用Gauss-Jordan消去法解方程组集 65
三、用Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆 69
四、行列式计算 71
2.5 向量和矩阵范数 74
一、向量范数 74
二、矩阵范数 76
2.6 计算解的精确度问题 79
一、方程组右端项误差对解的影响和矩阵的条件数 79
二、系数矩阵误差对解的影响 80
三、计算解的误差估计 81
四、解的迭代改善 84
第三章 解线性方程组的迭代法 88
3.1 解线性方程组迭代法的一般理论 88
一、向量和矩阵序列及其收敛性 88
二、一般迭代格式的构造 89
三、迭代的收敛问题 90
一、迭代格式 92
3.2 Jacobi迭代 92
二、Jacobi迭代的收敛问题 96
3.3 Gauss-Seidel迭代 98
一、迭代格式 98
二、Gauss-Seidel迭代收敛问题 101
3.4 松弛迭代 102
一、迭代格式 102
二、迭代的收敛问题 105
3.5 共轭斜量法 107
一、线性方程组和函数的极小化问题 107
二、共轭斜量法 111
第四章 插值法 119
4.1 插值的基本概念 119
一、问题的提出 119
二、插值 119
三、插值函数的存在唯一性 120
一、多项式插值 122
4.2 多项式插值及其Lagrange形式 122
二、多项式插值的Lagrange形式 123
三、多项式插值的余项 126
四、逐次线性插值 128
4.3 多项式插值的Newton形式 135
一、Newton插值多项式 135
二、差商 136
三、等距Newton插值 141
4.4 Hermite插值 149
一、Hermite插值的定义 149
二、Hermite插值多项式的构造 150
4.5 三次样条插值 154
一、多项式插值的局限性 154
二、三次样条插值函数和连续性方程 155
三、端点约束条件 158
四、样条插值函数的极性和收敛性 161
五、三次样条函数的矩阵表示 163
六、应用程序 165
4.5 双三次样条函数和样条曲面 177
一、双三次样条函数的定义 177
二、双三次样条插值问题 178
三、双三次样条函数在子矩形上的表示 179
四、双三次样条插值函数的计算过程 180
第五章 数据拟合 182
5.1 引言 182
5.2 线性最小二乘法 183
一、超定方程组和法方程组 183
二、多项式拟合 184
三、多变元线性拟合 190
四、线性拟合的推广 194
一、法方程组的条件问题 198
二、Gram-Schmidt方法 198
5.3 正交化方法 198
三、Householder变换 204
四、正交多项式方法 210
5.4 矩阵的奇异值分解和极小最小二乘解 217
一、矩阵的奇异值分解 217
二、矩阵奇异值分解的计算方法 219
三、极小最小二乘解 226
一、B样条曲线的数学表示 230
5.5 B样条曲线 230
二、三次B样条曲线 232
三、B样条曲线的几何性质 236
四、三次B样条的几个有用典型 236
5.6 Fourier级数和快速Fourier变换 238
一、最佳平方三角函数逼近 238
二、Fourier变换 242
三、快速Fourier变换 245
一、用差商近似代替微商 257
第六章 数值微分和数值积分 257
6.1 数值微分 257
二、用插值多项式求数值微商 258
三、用样条插值函数求数值微商 260
6.2 数值积分的基本概念 262
一、研究数值积分的必要性 262
二、数值积分的基本思想 262
三、求积公式的代数精确度 263
6.3 Newton-Cotes公式 265
一、Newton-Cotes公式的形式 265
二、Newton-Cotes公式的误差 270
三、Newton-Cotes公式的收敛性和数值稳定性 273
6.4 复化公式和区间逐次半分法 274
一、复化公式 274
二、复化公式的误差 276
三、区间逐半分法和误差的事后估计 278
四、实用程序 279
一、数值方法中的加速收敛技巧 283
6.5 外推法和Romberg积分 283
二、Richardson外推法 284
三、Romberg积分法 285
6.6 自适应Simpson积分法 289
一、数值积分的自适应问题 289
二、自适应Simpson算法 290
6.7 Gauss型求积公式 294
一、Gauss型求积公式的一般形式 294
二、求积公式的余项和数值稳定性 297
三、Gauss-Legendre求积公式 299
四、Gauss-Chebyshev求积公式 306
五、Gauss-Laguerre求积公式 309
六、Gauss-Hermite求积公式 313
7.1 矩阵特征值的估计 318
一、圆盘定理 318
第七章 矩阵特矩值问题 318
二、圆盘定理的应用 322
7.2 幂法和反幂法 324
一、幂法 324
二、反幂法 334
三、矩阵收缩 337
四、用幂法和反幂法求实对称矩阵的特征值问题 347
7.3 Jacobi方法 352
一、实对称矩阵和旋转相似变换 352
二、Jacobi方法 355
三、Jacobi方法的收敛性 360
7.4 实对称矩阵的Givens-Householder方法 361
一、实对称矩阵的三对角化 361
二、计算特征值的二分法 364
三、特征向量的计算 367
四、Givens-Householder方法程序 367
7.5 QR方法 375
五、实对称三对角矩阵次对角元有零元素情形 375
一、QR方法及其收敛性 376
二、Hessenberg矩阵及其QR分解 378
三、Hessenberg矩阵的QR算法 384
四、带原点位移的QR算法 389
五、双重步QR算法 395
第八章 非线性方程数值解法 404
8.1 实根的搜索 404
一、逐步搜索法 404
二、区间二分法 405
8.2 迭代法的一般理论 408
一、Picard迭代和压缩映射 409
二、Picard迭代的误差估计和收敛性 412
三、Picard迭代的加速收敛 414
8.3 Newton迭代 417
一、Newton法 417
二、Newton法的变形 421
三、Newton法的重根处理 422
四、用反函数构造单点迭代函数 426
8.4 多点迭代法 427
一、插值和多点迭代法的构造 428
二、弦位法 429
三、特殊的弦位法 433
四、抛物线法（Müller公式） 438
五、用导数估计建立多点迭代公式 443
一、直接用公式求根 446
8.5 多项式方程求根 446
二、Newton法 455
三、Bernoulli方法 460
四、林士谔－Baistow方法 468
第九章 非线性方程组的迭代解法 476
9.1 预备知识 476
一、非线性方程组数值解法概述 476
二、多元函数的可微性 477
三、多元向量函数的可微性 478
四、多元函数和多元向量函数的二阶导数 479
9.2 简单迭代法 480
一、简单迭代法的构造 480
二、简单迭代法的收敛性 481
9.3 解非线性方程组的Newton法 483
一、Newton法迭代公式 483
二、Newton迭代法收敛定理 483
三、Newton迭代法的变形 485
四、实用程序 489
9.4 割线法 498
一、多元向量函数线性插值 499
二、割线法的一般讨论 500
三、几种具体的割线法 501
四、关于收敛问题 504
五、割线法程序 504
一、拟Newton法的一般讨论 510
9.5 拟Newton法 510
二、Broyden方法 512
三、D-F-P和B-F-S算法 514
四、拟Newton法实用程序 517
9.6 最速下降法和共轭斜量法 526
一、最速下降法 527
二、共轭斜量法 532
一、Euler方法的导出及其几何意义 537
10.1 Euler方法 537
第十章 常微分方程初值问题的数值解法 537
二、误差分析 539
三、Euler方法的变形 541
四、稳定性分析 545
10.2 Runge-Kutta方法 546
一、Taylor级数和Runge-Kutta方法 546
二、显式Runge-Kutta方法 548
三、隐式Runge-Kutta方法 555
四、单步法的误差估计和变步长Runge-Kutta方法 563
10.3 线性多步法 568
一、Adams显式公式 568
二、Adams隐式公式 570
三、出发值的计算 572
四、隐式公式的迭代解法 572
10.4 预测－校正方法 576
一、预测－校正方法的基本形式 577
二、Milne方法 581
三、Hamming方法 582
10.5 数值方法的相容性、收敛性和稳定性 586
一、单步法的相容性和收敛性 586
二、线性多步法的相容性和收敛性 588
三、渐近稳定性 589
四、绝对稳定性 590
10.6 方程组和刚性方程 594
一、一阶常微分方程组初值问题 594
二、高阶常微分方程初值问题 603
三、刚性方程组 606
第十一章 常微分方程边值问题数值解法 619
11.1 解边值问题的差分方法 619
一、线性方程的差分方法 620
二、非线性方程的差分方法 625
11.2 打靶法 632
一、线性方程边值问题分析 632
二、线性方程边值问题打靶法 633
三、非线性方程边值问题打靶法 638
11.3 边值问题的样条函数解法 644
11.4 特征值问题 650
一、Sturm-Liouville问题 650
二、特征值问题的差分方法 652
附录AC语言屏幕绘图 659
附录B屏幕图形拷贝 675
附录C程序索引 685