第一章 微分算子级数法知识 1
1 微分算子及其性质 1
1.1 微分算子和微分算子级数 1
1.2 几个常用的微分算子 3
1.3 微分算子p（D）的性质 3
1.4 微分算子p（D）的运算公式 4
2 线性算子的几个概念 6
2.1 线性算子 6
2.2 有界线性算子 7
2.3 算子的有界性与函数的有界性 9
3 逆微分算子p-1（D）的性质和运算公式 10
3.1 逆算子 10
3.2 逆微分算子p-1（D）的性质 12
3.3 p-1（D）的运算公式 12
4 数值算子及其性质 14
4.1 问题的提出 14
4.2 数值算子 15
4.3 数值算子的性质 15
5 几个微分算子和算子p-1（D）的幂级数展开 17
5.1 逆微分算子p-1（D）的幂级数展开式 17
5.2 几个常用的微分算子幂级数展开式 18
5.3 三个微积分算子的幂级数展开 20
5.4 常用的微分算子公式 21
5.5 微分算子和微分算子级数 27
6 数值算子的简单应用 30
6.1 求常系数线性非齐次常微分方程的特解 30
6.2 计算积分 31
7 小结 32
参考文献 33
第二章 微分算子级数法在微积分学中的应用 34
1 积分学的回顾 34
1.1 积分学及其各种积分间的关系 34
1.2 用DSM计算的积分分类 35
2 一元不定积分的分部积分与DSM计算 36
2.1 分部积分法积分的题型 36
2.2 分部积分题型的DSM分类 38
2.3 pn(x)eβx型积分 38
2.4 ？(x)sinβx,？(x)cosβx型积分 42
2.5 eaxsinβx,eaxcosβx型积分 45
2.6 xnlnβx,xnarcsinx,xnarccosx型积分 48
3 一元定积分的分部积分与DSM运算 51
3.1 定积分定理和公式 51
3.2 定积分的例题 54
4 双曲函数的积分和DSM 57
4.1 分部积分含双曲函数的积分分类 57
4.2 双曲函数积分的DSM计算定理和公式 58
4.3 双曲函数积分举例 62
5 广义积分与DSM 65
5.1 广义积分概念 65
5.2 广义积分的计算原则 66
5.3 广义积分的计算公式和DSM的计算例题 67
6 算子ea2t△与广义积分 73
6.1 算子ea2t△的运算公式 73
6.2 一维广义积分的DSM计算公式 73
6.3 例题 74
7 二重积分与DSM 80
7.1 二重积分化为单重积分计算 80
7.2 用微分算子ea2t△计算重积分 81
7.3 正态分布的随机变量的数字特征 82
7.4 用微分算子1/a？△sh（at？△）计算重积分 84
8 变上限积分与DSM 86
8.1 变上限积分的DS计算公式 86
8.2 例题 88
9 多项式级数与近似计算 90
9.1 泰勒（Taylor）级数的回顾 90
9.2 多项式级数和近似计算 92
10 计算公式和小结 97
10.1 公式 97
10.2 小结 102
参考文献 105
第三章 微分算子级数法在概率论中的应用 107
1 正态分布随机变量的数字特征的微分算子级数公式 107
1.1 数字特征的统一计算公式 107
1.2 泊松积分及其微分算子级数公式 109
1.3 数字特征的微分算子级数计算公式 111
2 几个数字特征的计算 112
2.1 正态分布的数学期望和方差 112
2.2 指数分布的数学期望和方差 114
2.3 随机变量函数的数字特征 117
2.4 矩的计算 122
2.5 随机变量函数矩的计算 126
3 协方差和相关系数的计算 130
3.1 协方差和相关系数 130
3.2 协方差的微分算子级数计算法 131
3.3 相关系数的计算 132
4 小结 141
参考文献 144
第四章 微分算子级数法与复变函数 145
前言 145
1 原函数与不定积分 146
1.1 原函数与不定积分定义 146
1.2 分部积分问题 148
1.3 含lnz和arcsinz的积分 149
2 几个广义积分的计算 151
2.1 积分公式的推导 151
2.2 例题 152
3 傅里叶变换 154
3.1 积分变换与DSM 154
3.2 傅里叶变换的定义 154
3.3 例题 156
3.4 傅里叶变换的应用举例 162
4 拉普拉斯变换 166
4.1 拉普拉斯变换的定义 166
4.2 例题 167
4.3 用拉氏变换解微分方程 172
5 积分变换法和DSM比较 178
5.1 复变函数与DSM 178
5.2 积分变换法与DSM比较（兼小结） 179
参考文献 181
第五章 常微分方程（组）的DSM解法 182
1 引言 182
1.1 微分方程求解的回顾 182
1.2 微分算子级数法和数值算子 183
1.3 算子法，积分变换法与DSM比较 184
1.4 本章的计划 184
2 线性算子 185
2.1 n阶线性微分方程和线性微分算子 185
2.2 非齐次和齐次方程的解 185
2.3 函数的线性相关和线性组合 186
3 分离变量方程 187
3.1 分离变量方程解的回顾 187
3.2 解法改写 188
4 一阶线性微分方程的求解与常数变异问题 189
4.1 一阶线性微分方程求解中的问题 189
4.2 一阶线性微分方程的新解法 190
4.3 新解法意义 191
5 高阶齐次常系数线性微分方程的通解 192
5.1 算子特征方程，特征根 192
5.2 n阶齐次常系数线性常微分方程的通解 193
6 n阶常系数非齐次线性微分方程的解 198
6.1 特解公式的推导 198
6.2 例题 199
6.3 二阶线性微分方程的物理背景及其解 207
7 常系数线性微分方程组 214
7.1 公式的推导 214
7.2 解常系数线性常微分方程组的例题 217
8 Euler方程和变系数方程 222
8.1 微分算子级数法与变系数微分方程 222
8.2 解Euler方程的例题 224
8.3 一般的变系数线性常微分方程的求解 227
9 本征值问题 232
9.1 本征值问题 233
9.2 斯图姆——刘维尔问题 233
9.3 本征值的性质 239
9.4 S—L方程和边界条件分类 240
9.5 第一边值问题及本征函数 242
9.6 第二边值问题及本征函数 243
9.7 第三边值问题及其本征函数 245
10 小结 250
参考文献 254
第六章 热传导方程的DSM解法 255
1 偏微分方程的基本概念 255
1.1 几个定义 255
1.2 线性算子 258
1.3 定解问题 261
2 迭加原理 262
2.1 线性问题 262
2.2 解的迭加 263
2.3 迭加原理的定义 264
3 偏微分算子的几个概念 265
3.1 几个偏微分算子符号 265
3.2 算子的性质 266
3.3 数值算子及其有关展开式 266
3.4 柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理 267
3.5 周期为21的周期函数的傅里叶级数 268
4 微分算子指数eA及其计算公式 269
4.1 算子的范数 269
4.2 微分算子指数eA的定义 270
4.3 ea2t△与几个常用函数的运算公式 270
5 热传导定解问题及其求解公式 271
5.1 热传导定解问题 272
5.2 柯西问题与混合问题解的存在、唯一性 276
5.3 柯西问题解的公式 277
6 热传导方程柯西问题的微分算子解 279
6.1 微分算子级数解的公式 279
6.2 解柯西问题的例 282
7 热传导方程的混合问题 287
7.1 齐次化原理 287
7.2 混合问题的求解思路 287
7.3 第一类边界条件的混合问题 288
7.4 第二类边界条件的混合问题 290
7.5 第三类边界条件的混合问题 292
7.6 求混合问题解的例题 294
8 非齐次热传导方程的微分算子级数解和泊松积分 300
8.1 一维积分公式和例题 300
8.2 二维积分公式和例题 302
8.3 三维积分公式和例题 303
9 小结 304
参考文献 305
第七章 波动方程的DSM解法 306
1 弦振动方程和定解条件的提法 306
1.1 弦振动方程 306
1.2 弦振动方程的定解条件 307
1.3 高维波动方程 309
1.4 波动方程柯西问题与混合问题解的存在性和唯一性 309
1.5 波动方程柯西问题解的公式 313
2 双曲正、余弦微分算子及其有关的运算公式 315
2.1 双曲正、余弦微分算子的导出 315
2.2 双曲正、余弦微分算子有关的运算公式 316
3 波动方程柯西问题的微分算子解 317
3.1 齐次化原理 317
3.2 波动方程柯西问题的微分算子解 318
4 波动方程混合问题的求解 327
4.1 波动方程混合问题的求解思路 327
4.2 弦振动方程的第一边值条件混合问题解的公式 329
4.3 弦振动方程级数解的物理意义 331
4.4 弦振动方程第二边值条件混合问题解的公式 334
4.5 弦振动方程第三边值条件混合问题解的公式 337
4.6 波动方程混合问题的例题 340
5 非齐次波动方程的微分算子解和一类积分的微分计算 350
5.1 一维积分公式和例题 350
5.2 二维积分公式和例题 352
5.3 三维积分公式和例题 353
6 小结 355
参考文献 358
第八章 DSM与其它数学问题 359
1 椭圆型方程和边值问题 359
1.1 典型的椭圆型方程 359
1.2 边值问题的分类 361
2 正、余弦微分算子及其运算公式 362
2.1 正、余弦微分算子的导出 362
2.2 正、余弦算子的运算公式 363
2.3 迭加原理 365
2.4 柯西问题的例题 366
3 边值问题的级数解 368
3.1 解法思路 368
3.2 边值问题求解举例 369
3.3 Poisson方程柯西问题解的应用 376
4 积分方程与DSM 379
4.1 积分方程的概念 379
4.2 用DSM解积分方程的例题 382
4.3 用正弦变换解积分方程 386
5 DSM与其它问题 387
5.1 DSM与泛函分析 387
5.2 DSM与非线性微分方程 389
5.3 DSM与计算科学 389
6 小结 390
参考文献 391
附录一：变系数线性发展微分方程与DS解 392
前言 392
1 高阶发展方程Cauchy问题的微分算子级数解 393
1.1 定义 393
1.2 定理（柯西问题的解析解） 394
1.3 推论 396
2 高阶发展方程混合问题的DS解 398
2.1 定义 398
2.2 定理 400
3 半无界问题和初边值问题 405
3.1 半无界问题 406
3.2 初边值问题 409
4 关于（？/？t-r）LU=□U的DS解 411
4.1 思路和定理 411
4.2 例题 418
5 微分算子级数的可解类型 419
5.1 类型和求解公式 419
5.2 小结 423
参考文献 425
附录二：偏微分方程的简史 426
1 前言 426
2 偏微分方程简史的世界部分 428
2.1 十八世纪是P·D·E·的幼年时期 428
2.2 十九世纪是P·D·E·的快速发展的年代 429
2.3 二十世纪是P·D·E·突飞猛进的年代 430
3 P·D·E·简史的中国部分 431
3.1 旧中国的偏微分方程 431
3.2 P·D·E·工作开创发展的十八年（1949-1966年） 432
3.3 恢复追赶的十年（1977-1987） 434
3.4 成果列举 437
参考文献 440
附录三：有关写“我国P·D·E·发展简史”的函件摘录 441
一、中国科学院数学研究所微分方程室吴新谋主任的回函 441
二、武汉大学陈肇兰教授的回函（摘录） 442
三、四川大学陆文端教授的回信摘录 443
四、西北大学凌岭教授的回信摘录 444
五、兰州大学王明亮教授的回信摘录 444
六、中山大学梁？廷教授的回信摘录 444
七、北京师范大学洪良辰教授的回信摘录 445
八、北京航空学院陆启韶教授的回信摘录 446
九、关心、支持和帮助写“我国P·D·E·发展简史”的专家、学者 447
十、歉意 447
编后语 448
一、内容概括 448
二、DSM的作用 449
三、未来的任务 451