第一篇 预备知识 1
第一章 分形理论 1
1.1 欧氏空间与非欧空间 1
1.2 测度理论初步 3
1.3 勒贝格（Lebesque）测度 7
1.4 豪斯道夫测度与维数 9
1.5 分形的定义 12
1.6 分形维数的物理意义 15
第二章 可求长曲线问题 23
2.1 有界变差函数 23
2.2 可求长曲线 31
2.3 γ-函数的性质 34
第三章 整数阶微积分 43
3.1 整数阶导数的定义 43
3.2 积分是微分的逆运算 44
3.3 微分与积分的经典定义 47
3.4 混合导数的运算法则 49
3.5 重积分关于下限的相关性 52
3.6 积的重积分的运算法则 53
3.7 复合函数的求导法则 55
3.8 重积分 56
3.9 无穷级数的微分与积分 57
3.10 幂函数的微分与积分 58
3.11 超几何函数的微分与积分 59
第二篇 分数阶微积分 63
第四章 欧氏测度下的分数阶微积分 63
4.1 基本概念 63
4.2 简单函数的分数阶微积分 72
4.3 分数阶微积分的性质 78
4.4 复杂函数的微积分 99
4.5 小结 119
5.1 定义 122
第五章 半导数与半积分 122
5.2 一般性质 124
5.3 常数与幂函数 126
5.4 二项式函数 128
5.5 指数函数与相关函数 130
5.6 三角函数与双曲三角函数 132
5.7 贝塞尔函数与Struve函数 136
5.8 广义超几何函数 138
5.9 复杂函数 140
第六章 分数阶常微分方程 141
6.1 拉普拉斯变换 141
6.2 数值微积分 144
6.3 作为超几何函数的超越函数 156
6.4 K＞L的超几何函数 159
6.5 复杂超几何函数的降阶 160
6.6 基本的超几何函数 162
6.7 K=L超越函数的生成 166
6.8 K=L—1超越函数的生成 168
6.9 K=L—2超越函数的生成 170
6.10 特殊的常微分方程 174
6.11 半微分方程 176
6.12 级数解 179
第七章 分数阶偏微分方程 181
7.1 基本概念 181
7.2 齐次边界条件的发展型方程 182
7.3 非线性输运方程 187
7.4 运动边界发展方程 191
7.5 分数阶波动型方程 198
第八章 豪斯道夫测度下的微积分 203
8.1 问题的提出 203
8.2 基本概念 203
8.3 基本性质 206
8.4 H—导数的定义 207
8.5 H—导数的性质 209
8.6 一些函数的H—导数 212
第三篇 分形动力学 215
第九章 复杂系统与复杂性 215
9.1 引言 215
9.2 分形动力学的研究内容 216
9.3 维数、信息和熵 219
9.4 分形动力学解的充分性判据 221
9.5 产生分形结构的物理机制 222
9.6 宏观不可逆性 225
9.7 分形动力学与演化物理 226
第十章 分形生长动力学 227
10.1 分形生长静力学 227
10.2 运动边界的物理本质 229
10.3 分形生长动力学的线性模型 235
10.4 线性模型的求解 238
10.5 分形生长动力学的非线性模型 241
10.6 有生长中心的分形生长动力学 247
10.7 关于生长半径问题 252
10.8 用随机微分方程描述的分形生长动力学 253
第十一章 随机分形动力学 256
11.1 问题的提出 256
11.2 稳定分布问题 257
11.3 分数布朗运动 267
11.4 长时相干效应与反常扩散 271
11.5 连续时间无规行走与反常输运 278
11.6 时空扰动作用下的随机分形 283
第十二章 演化动力学的决定论方法 288
12.1 问题的提出 288
12.2 演化过程的物理基础 290
12.3 确定性动力学过程的演化动力学方程 291
12.4 质量平衡方程 295
12.5 化学反应与扩散耦合系统的演化动力学 298
12.6 具有多种过程系统的热效应 300
12.7 重力场中的反应扩散方程 302
第十三章 系统的稳定性 304
13.1 问题的提出 304
13.2 轨道与结构稳定性 307
13.3 稳定性理论 310
13.4 突变理论 313
13.5 含有两个变量的系统 320
13.6 反应—扩散系统的稳定性 328
13.7 非平衡线性热力学的稳定性 333
13.8 非平衡态热力学的稳定性 337
第十四章 在材料科学中的应用 342
14.1 问题的提出 342
第四篇 分形动力学的应用 342
14.2 介面生长动力学 343
14.3 裂纹的扩展问题 347
14.4 凝固问题 353
第十五章 在各种演化问题中的应用 357
15.1 问题的提出 357
15.2 化学中的Rossler反应 358
15.3 Lorenz模型 361
15.4 形态生长模型 364
15.5 位错密度的演化动力学 368
第十六章 分形动力学的描述方法 374
16.1 问题的提出 374
16.2 欧氏测度下的分数阶微积分 375
16.3 豪斯道夫测度下的微积分 381
16.4 标度对称性与动力学重整化群 383
16.5 讨论 384
参考文献 386