第1章 行列式 1
1.1 行列式的概念与性质 1
1.1.1 二阶、三阶行列式 1
1.1.2 n阶行列式概念 1
1.1.3 行列式的性质 2
1.2 行列式的计算 3
1.2.1 余子式 3
1.2.2 特殊行列式的计算 3
1.2.3 行列式的展开式 4
1.3 克莱姆法则 5
习题 6
第2章 矩阵 8
2.1 矩阵的概念及其线性运算 8
2.1.1 矩阵的概念 8
2.1.2 矩阵的加减 9
2.1.3 矩阵的数乘 9
2.2 矩阵的乘法与转置 10
2.2.1 矩阵的乘法 10
2.2.2 矩阵乘法的特殊性 11
2.2.3 矩阵的转置 11
2.3 逆矩阵 11
2.3.1 逆矩阵的概念 11
2.3.2 方阵可逆的条件 12
2.3.3 逆矩阵的性质 13
2.4 矩阵的初等变换 13
2.4.1 矩阵的初等行变换 13
2.4.2 用初等变换法求逆矩阵 13
习题 14
第3章 线性方程组 16
3.1 矩阵消元法 16
3.2 矩阵的秩 17
3.2.1 秩的概念 17
3.2.2 秩的求法 17
3.3 秩与线性方程组的解 17
3.4 线性方程组解的结构 18
3.4.1 齐次线性方程组解的结构 18
3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 19
习题 19
第4章 计算方法 21
4.1 误差 21
4.1.1 误差的来源 21
4.1.2 误差的概念 21
4.1.3 有效数字 22
4.1.4 数值运算的原则 22
4.2 插值问题 22
4.2.1 插值原则 22
4.2.2 线性插值问题 23
4.2.3 插值多项式的构造 24
4.2.4 均差 24
4.2.5 牛顿均差公式 25
4.3 曲线拟和的最小二乘法 26
4.4 数值积分 27
4.4.1 牛顿－柯特斯求积公式 27
4.4.2 复化梯形公式 28
4.4.3 变步长梯形公式 29
4.5 一元非线性方程的解 30
4.5.1 二分法 30
4.5.2 牛顿迭代法 31
4.5.3 单点弦截法 33
4.5.4 双点弦截法 33
4.6 线性方程组的迭代法 33
4.6.1 迭代法思想 34
4.6.2 简单迭代法 34
4.6.3 塞德尔迭代法 34
习题 35
第5章 命题逻辑 37
5.1 命题的概念 37
5.1.1 命题 37
5.1.2 命题的表示 38
5.1.3 命题的分类 38
5.1.4 真值表 38
5.2 命题联结词 38
5.2.1 否定联结词 38
5.2.2 合取联结词 39
5.2.3 析取联结词 39
5.2.4 条件联结词 40
5.2.5 双条件联结词 41
5.3 命题公式 42
5.3.1 命题公式的概念 42
5.3.2 命题公式的赋值 42
5.4 命题公式的真值表及分类 43
5.4.1 命题公式的真值表 43
5.4.2 命题公式的分类 44
5.5 等价式 44
5.5.1 等价式的概念 44
5.5.2 置换规则 45
5.6 蕴涵式 46
5.6.1 蕴涵的概念 46
5.6.2 基本蕴涵式 46
5.7 最小联结词组 47
5.8 对偶式 47
5.9 范式 48
5.9.1 范式的概念 48
5.9.2 极小项与极大项的概念 49
5.9.3 主范式的概念 50
5.9.4 主析取范式与主合取范式的关系 51
5.10 命题逻辑的推理理论 52
5.10.1 前提与有效结论 52
5.10.2 构造论证法 52
习题 54
第6章 谓词逻辑 58
6.1 个体、谓词与量词 58
6.1.1 个体与谓词 59
6.1.2 量词 60
6.2 谓词公式与解释 61
6.2.1 谓词公式的概念 61
6.2.2 约束变元与自由变元 62
6.2.3 谓词公式的解释 63
6.2.4 谓词公式的分类 64
6.3 谓词逻辑的等价式与蕴涵式 64
6.3.1 谓词逻辑的等价式 64
6.3.2 谓词逻辑的蕴涵式 66
6.4 前束范式 66
6.5 谓词逻辑的推理理论 67
习题 69
第7章 集合 72
7.1 集合及相关知识 72
7.1.1 集合的相关概念 72
7.1.2 集合的描述 72
7.2 集合之间的特殊关系 73
7.3 集合的运算 74
7.4 包含排斥原理 76
习题 77
第8章 关系 79
8.1 序偶与笛卡儿积 79
8.1.1 序偶 79
8.1.2 笛卡儿积 79
8.2 二元关系 80
8.2.1 二元关系及其相关概念 80
8.2.2 二元关系的表示 81
8.3 关系的运算 82
8.3.1 关系的基本运算 82
8.3.2 关系的复合运算 82
8.3.3 关系的逆运算 84
8.4 关系的性质及判定 85
8.4.1 自反性及判定方法 85
8.4.2 反自反性及判定方法 86
8.4.3 对称性及判定方法 86
8.4.4 反对称性及判定方法 87
8.4.5 传递性及判定方法 88
8.5 关系的闭包运算 89
8.5.1 关系的闭包 89
8.5.2 闭包的运算定理 89
8.6 特殊关系及应用 91
8.6.1 等价关系 91
8.6.2 相容关系 95
8.6.3 偏序关系 95
习题 97
第9章 函数 100
9.1 函数的概念 100
9.1.1 函数概述 100
9.1.2 特殊函数 101
9.2 函数运算 101
9.2.1 复合函数 101
9.2.2 逆函数 103
9.2.3 几个特殊函数 103
习题 104
第10章 图论 106
10.1 基本概念 106
10.1.1 图的基本概念 106
10.1.2 图中结点的度数 107
10.1.3 几种常见的图 108
10.1.4 子图 109
10.1.5 图的同构 109
10.2 路与回路 110
10.2.1 路、回路和连通性 110
10.2.2 有权图的最短路径问题 112
10.3 图的矩阵表示 114
10.4 有向图和可达性矩阵 116
10.4.1 有向图 116
10.4.2 有向图的可达性 117
10.5 欧拉图与哈密尔顿图 120
10.5.1 欧拉图 120
10.5.2 哈密尔顿图 123
10.6 树 125
10.6.1 树的概念 125
10.6.2 生成树 126
10.6.3 最小生成树 127
10.7 根树及其应用 127
10.7.1 根树、有序树、M叉树 127
10.7.2 二叉树 129
10.7.3 二叉树在计算机中的应用 132
10.8 二部图和平面图 134
10.8.1 二部图 134
10.8.2 平面图 134
习题 136
第11章 代数系统 140
11.1 二元运算及其性质 140
11.1.1 二元运算的定义 140
11.1.2 二元运算的性质 141
11.1.3 二元运算所对应集合中的特殊元素 143
11.2 代数系统 146
11.2.1 代数系统的定义 146
11.2.2 代数系统的分类 147
11.2.3 代数系统的同态和同构 147
11.3 特殊的代数系统 148
11.3.1 半群 148
11.3.2 独异点 149
11.3.3 群 150
11.3.4 子群 152
11.3.5 典型群及其应用 153
11.3.6 置换群 156
11.3.7 陪集 157
习题 159
第12章 格与布尔代数 162
12.1 格的概述 162
12.1.1 格的定义 162
12.1.2 格的性质 164
12.2 分配格和有补格 165
12.2.1 分配格 165
12.2.2 有补格 165
12.3 布尔代数 166
12.3.1 布尔代数及相关概念 166
12.3.2 布尔代数的性质 166
12.3.3 布尔表达式 167
习题 167
参考文献 169