第1章 绪论 1
1.1 计算方法的研究内容与意义 1
1.2 误差 1
1.2.1 误差的主要来源 2
1.2.2 误差的基本概念 2
1.3 数值方法的稳定性与算法设计原则 4
1.4 思考与练习 6
第2章 非线性方程的数值解法 8
2.1 引言 8
2.2 根的隔离 8
2.2.1 试值法 8
2.2.2 作图法 9
2.2.3 扫描法 9
2.3 对分法 10
2.4 迭代法 10
2.5 牛顿法 14
2.5.1 牛顿法的迭代公式 14
2.5.2 简单迭代法与牛顿迭代法的收敛速度 15
2.5.3 关于n重根的牛顿法 16
2.6 弦割法 16
2.7 思考与练习 17
第3章 线性代数计算方法 19
3.1 高斯消去法 20
3.1.1 三角形方程组的解法 20
3.1.2 高斯消去法 20
3.1.3 主元素消去法 24
3.1.4 用列主元高斯消去法求行列式值 26
3.2 高斯—约当消去法 27
3.2.1 高斯—约当消去法 27
3.2.2 逆矩阵的计算 28
3.3 矩阵的LU分解 30
3.3.1 高斯消去法与矩阵的LU分解 30
3.3.2 直接LU分解 31
3.4 追赶法 35
3.5 迭代法 38
3.5.1 向量范数和矩阵范数 38
3.5.2 迭代法的一般形式 41
3.5.3 雅可比迭代法 41
3.5.4 高斯—塞德尔迭代法 44
3.5.5 迭代法的收敛性 46
3.5.6 超松弛迭代法 50
3.6 矩阵的特征值与特征向量的计算方法 51
3.6.1 乘幂法 52
3.6.2 原点位移法 55
3.6.3 反幂法 55
3.7 思考与练习 57
第4章 插值与拟合 61
4.1 插值法概述 61
4.1.1 插值法基本概念 61
4.1.2 代数插值多项式的存在唯一性 61
4.2 线性插值与二次插值 62
4.2.1 线性插值 62
4.2.2 二次插值 63
4.3 拉格朗日插值多项式 64
4.3.1 拉格朗日插值多项式 64
4.3.2 插值多项式的余项 66
4.4 均差与牛顿基本插值公式 67
4.4.1 均差、均差表及均差性质 67
4.4.2 牛顿基本插值公式 70
4.4.3 均差插值多项式的余项 71
4.5 差分与等距节点插值公式 72
4.5.1 差分与差分表 72
4.5.2 等距节点插值公式 74
4.6 分段低次插值 76
4.6.1 高次插值的缺陷 76
4.6.2 分段线性插值 77
4.6.3 分段埃尔米特插值 78
4.7 三次样条插值 80
4.7.1 三次样条插值 81
4.7.2 用节点处的二阶导数值表示的三次样条函数 81
4.8 最小二乘法与曲线拟合 84
4.8.1 最小二乘法 84
4.8.2 多项式拟合 87
4.8.3 幂函数型、指数函数型经验公式 90
4.9 思考与练习 92
第5章 数值微积分 95
5.1 牛顿—柯特斯公式 95
5.1.1 牛顿—柯特斯公式 95
5.1.2 低阶牛顿—柯特斯公式的误差分析 99
5.1.3 牛顿—柯特斯公式的稳定性 99
5.2 复合求积公式 100
5.2.1 复合牛顿—柯特斯公式 100
5.2.2 复合求积公式的余项 101
5.3 变步长求积公式 103
5.3.1 变步长求积公式 103
5.3.2 变步长梯形公式算法 104
5.4 龙贝格求积公式 105
5.5 数值微分 109
5.5.1 插值型求导公式 109
5.5.2 样条求导公式 111
5.6 思考与练习 112
第6章 常微分方程初值问题的数值解法 114
6.1 引言 114
6.2 欧拉方法 114
6.2.1 欧拉方法 114
6.2.2 改进的欧拉方法 116
6.2.3 局部截断误差和方法的阶 117
6.3 龙格—库塔方法 118
6.3.1 龙格—库塔方法的基本思想和一般形式 118
6.3.2 二阶龙格—库塔方法 119
6.3.3 四阶龙格—库塔方法 120
6.3.4 变步长的四阶龙格—库塔方法 122
6.4 线性多步法 122
6.4.1 线性多步法 122
6.4.2 阿达姆斯方法 123
6.5 一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值解法 125
6.5.1 一阶常微分方程组的数值解法 125
6.5.2 高阶常微分方程的数值解法 126
6.6 思考与练习 127
主要参考文献 129