第1篇 微积分 1
1.1函数 1
1.1.1求几类函数的表达式 1
题型一 已知函数求其反函数的表达式 1
题型二 求分段函数的复合函数 1
题型三 利用函数概念求两类函数表达式 3
1.1.2判别（证明）几类函数的奇偶性 3
题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性 3
题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 3
题型三 判别复合函数的奇偶性 4
题型四 判别原函数F（x）=∫x0f（t）d0t的奇偶性 4
题型五 判别含子函数f（x）=（akx士1）/（akx？1）的函数的奇偶性 5
1.1.3奇、偶函数的几个性质的应用 5
1.1.4函数有界性的判定 6
题型一 判定在有限开区间内连续函数的有界性 7
题型二 判定在无穷区间内连续函数的有界性 7
题型三 判定分段连续函数的有界性 8
习题1.1 9
1.2极限、连续 10
1.2.1极限的概念与基本性质 10
题型一 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义 10
题型二 正确区别无穷大量与无界量 10
题型三 正确运用极限的保序性、保号性 11
题型四 正确运用极限的四则运算法则、无穷大量运算法则及夹逼准则 12
1.2.2求未定式极限 12
题型一 求0/0型或∞/∞型极限 12
题型二 求0·∞型极限 15
题型三 求∞-∞型极限 15
题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限 16
题型五 求含变限积分的未定式极限 20
1.2.3求数列极限 22
题型一 求无穷多项和的极限 23
题型二 求无穷多项积的极限 24
题型三 求由递推关系式给出的数列的极限 24
1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限 25
题型一 求含lim x→0e1/x型的极限 25
题型二 求含根式差的函数极限 26
题型三 求含指数函数和差的函数极限 26
题型四 求含有界变量为因子的函数极限 27
题型五 求含ln f（x）的函数极限，其中lim x→□f（x）=1 28
1.2.5由含未知函数的极限，求与该函数有关的另一极限 28
1.2.6求极限式中待定常数 29
题型一 求有理函数极限式中的待定常数 29
题型二 确定分式函数极限式中的待定常数 30
题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 31
题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数 31
1.2.7比较和确定无穷小量的阶 32
题型一 比较无穷小量的阶 33
题型二 确定无穷小量为几阶无穷小量 33
题型三 利用无穷小量阶的比较求待定常数 34
1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型 35
题型一 判断初等函数的连续性 35
题型二 讨论分段函数的连续性 36
题型三 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性 37
题型四 判断函数间断点的类型 37
1.2.9根据分段函数的连续（可导）性确定其待定常数 39
题型一 根据分段函数的连续性确定待定常数 39
题型二 根据分段函数的可导性确定待定常数 40
1.2.10连续函数性质的两点应用 41
题型一 利用连续函数性质证明中值等式命题 41
题型二 证明方程实根的存在性 43
1.2.11极限在经济活动分析中的应用 43
题型一 计算连续复利 43
题型二 求解贴现问题 44
题型三 计算生产函数的极限 44
习题1.2 45
1.3一元函数微分学 48
1.3.1导数定义的两点应用 48
题型一 求与增量比（差商）有关的极限 48
题型二 讨论函数在某点的可导性 49
1.3.2讨论分段函数的可导性及导函数的连续性 53
题型一 讨论分段函数的可导性 53
题型二 讨论分段函数的导函数的连续性 54
题型三 讨论特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性 56
1.3.3讨论含绝对值的函数的可导性 56
题型一 讨论含因子|x-a|的函数的可导性 56
题型二 讨论含绝对值函数|f（x）|的函数的可导性 57
1.3.4求一元函数的导数和微分 59
题型一 求复合函数的一阶与二阶导数 59
题型二 求反函数的导数 60
题型三 求乘除因子较多且有指数运算或幂指运算的函数的导数 61
题型四 求分段函数的导数 62
题型五 求带绝对值的函数的导数 62
题型六 求某些简单函数的高阶导数 63
题型七 求由一个方程所确定的隐函数的导数 65
题型八 求一元函数的微分 66
1.3.5利用微分中值定理的条件及其结论解题 68
1.3.6利用罗尔定理证明中值等式 70
题型一 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）=bg′（ξ），c，b为常数 70
题型二 证明存在ξ？（a，b）使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=0 71
题型三 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（x）≠0） 72
题型四 证明存在ξ？（a，b）使f（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=0 73
题型五 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）+g′（ξ）［f（ξ）-b（ξ）］=b 73
题型六 证明存在ξ？（a，b）使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数） 74
题型七 证明存在ξ？（a，b）使g（ξ）f′（ξ）+h（ξ）f（ξ）=Q（ξ） 74
题型八 证明题设中有定积分等式的中值等式 75
题型九 证明存在ξ？（a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2） 76
1.3.7拉格朗日中值的应用 77
题型一 证明（隐）含函数差值的中值等式或中值不等式 77
题型二 证明其导函数与原来函数性质之关系 78
题型三 求解与函数差值有关的间题 80
题型四 利用拉格朗日中值定理的几何意义证明中值等式 80
题型五 求中值的极限位置 81
1.3.8利用柯西中值定理证明中值等式 81
题型一 证明两函数差值之比的中值等式 82
题型二 证明两函数导数之比的中值等式 82
题型三 证明使用柯西定理的两函数没有给出的中值等式 83
1.3.9证明两个中值所满足的中值等式 84
1.3.10利用导数讨论函数性态 86
题型一 证明函数在某区间上是常数 86
题型二 证明（判别）函数的单调性 86
题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值 88
题型四 求函数的单调区间、极值、最值 89
题型五 求曲线的凹凸区间与拐点 92
1.3.11讨论函数图形与函数性态的关系 95
题型一 求曲线的渐近线 95
题型二 利用函数性态作函数图形 97
题型三 利用导函数的图形确定原来函数的性态 99
1.3.12讨论方程根的个数 99
题型一 讨论不含参数的方程根的个数 99
题型二 讨论含参数的方程根的个数及其所在区间 101
1.3.13利用导数证明不等式 102
题型一 证明含或可化为函数差值的不等式 102
题型二 利用函数单调性证明不等式 103
题型三 利用函数的最值证明不等式 105
题型四 证明含两个常数的数值不等式 107
1.3.14导数几何意义的应用 108
题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程 108
题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 109
题型三 求解与两曲线相切的有关问题 110
1.3.15导数在经济活动分析中的应用 111
题型一 计算弹性 112
题型二 计算边际函数 112
题型三 求解与边际和弹性有关的应用题 113
题型四 求解经济应用中一元函数的最值间题 115
习题1.3 118
1.4一元函数积分学 123
1.4.1原函数与不定积分的关系 123
题型一 判别一函数是否为分段函数的原函数 123
题型二 已知某函数，求其原函数 124
题型三 已知某函数的一个原函数，求该函数 125
题型四 已知某函数的原函数，求与该函数有关的函数的不定积分 126
题型五 已知f（x）的一个原函数，求∫xkf（l）（x）dx 126
1.4.2计算不定积分 127
题型一 计算被积函数仅是一个（或一类）函数的不定积分 127
题型二 计算∫f（x）g（x）dx 128
题型三 计算简单无理函数的不定积分 128
题型四 求∫1/（ax+b）kf（x）dx 131
题型五 求∫f（x）/g（x）dx 131
题型六 简化计算有理真分式的不定积分 133
题型七 求三角函数的不定积分 134
1.4.3利用定积分定义求某些积和式的数列极限 135
题型一 求一因式为1/n的积和式的数列极限 136
题型二 求取对数后能产生因式1/n的积和式的数列极限 136
题型三 求分母能化为n+1/i的积和式的数列极限 136
1.4.4计算定积分的若干方法与技巧 137
题型一 利用圆的面积计算定积分 137
题型二 计算对称区间上的定积分 138
题型三 计算周期函数的定积分 138
题型四 比较或估计定积分的大小 140
题型五 求解含定积分的函数方程 141
题型六 计算几类须分子区间积分的定积分 141
题型七 计算含参数的定积分 143
题型八 计算需换元计算的定积分 145
题型九 计算被积函数含抽象函数导数的（不）定积分 145
题型十 计算被积函数含抽象函数的定积分的值 146
1.4.5求解与变限积分有关的问题 147
题型一 求变限积分的导数 147
题型二 求含变限积分的定积分 148
题型三 讨论变限积分函数的性态 149
题型四 由变限积分所满足的函数方程，求未知函数或其积分值 152
1.4.6证明定积分等式 154
题型一 证明定积分的变换公式 154
题型二 证明定积分中值等式 156
1.4.7定积分不等式的常用证法 156
1.4.8计算反常积分 160
题型一 计算无穷区间上的反常积分 160
题型二 判别∫+∞ a dx/Xp与∫+∞ a dx/x（lnx）p（a＞0）的敛散性 164
题型三 计算无界函数的反常积分 164
题型四 判别∫b a dx/（b-x）p与∫b a dx/（x-a）p的敛散性 166
1.4.9定积分的应用 166
题型一 求曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积 167
题型二 计算非曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积 170
题型三 求由含参数a的某曲线和其他曲线围成的平面图形的面积S及绕坐标轴旋转的体积V，并求当a为何值时，S和（或）V取最值 172
题型四 由某曲线所围图形的面积或其旋转体体积反求该曲线 174
题型五 求函数在区间上的平均值 175
题型六 由其变化率求经济函数或其改变量 175
题型七 由边际函数求（最优）总函数 176
习题1.4 177
1.5二元函数微积分学 181
1.5.1二元函数微分学中的几个概念 181
1.5.2计算偏导数与全微分 184
题型一 计算显函数的偏导数 184
题型二 求带函数记号的复合函数偏导数 186
题型三 计算由一个方程确定的隐函数的导数 189
题型四 求由方程组确定的隐函数的导数 190
题型五 求二元函数的全微分 191
1.5.3二元函数微分学的应用 193
题型一 求闭域上连续的二元函数的极值和最值 195
题型二 求解经济应用中的（无）条件最（极）值问题 196
1.5.4交换二次积分次序与转换二次积分 198
题型一 交换二（累）次积分的积分次序 198
题型二 转换二次积分 200
1.5.5用直角坐标系计算二重积分 200
题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分 200
题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分 201
题型三 利用奇偶性和对称性计算二重积分 203
题型四 分块计算二重积分 205
题型五 计算无界区域上较简单的二重积分 206
题型六 已知某二元连续函数f（x，y）及其二重积分满足某一方程，求该函数 209
题型七 判断（证明）二重积分值的大小 209
1.5.6用极坐标系计算二重积分 210
题型一 计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分 210
题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 211
题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分 212
题型四 计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分 213
题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分 214
题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a，b＞0）上的二重积分 214
习题1.5 215
1.6常微分方程 218
1.6.1求解几类一阶微分方程 218
题型一 求解变量可分离的一阶微分方程 218
型二 求解一阶齐次微分方程y′=f（y/x） 219
题型三 求解一阶线性非齐次方程 221
题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性方程 222
题型五 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶线性微分方程的连续解 223
题型六 求解其他形式给出的一阶微分方程 224
1.6.2常微分方程的简单应用 225
题型一 求解与几何量有关的问题 225
题型二 求解简单的经济应用题 226
习题1.6 227
第2篇 线性代数 229
2.1计算行列式 229
2.1.1计算具体行列式 229
题型一 计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式 229
题型二 计算非零元素在三条线上的行列式 231
题型三 计算行（列）和相等的行列式 233
题型四 计算范德蒙行列式 233
题型五 求代数余子式线性组合的值 234
2.1.2克莱姆法则的应用 237
2.1.3计算抽象矩阵的行列式 240
题型一 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 240
题型二 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 242
习题2.1 243
2.2矩阵 245
2.2.1证明抽象矩阵的可逆性 245
题型一 证明矩阵A可逆，且A-1=B 245
题型二 已知AB+aA+bB+cE=O（a，b，c为常数），证明有关矩阵可逆 245
题型三 证明和（差）矩阵可逆 247
题型四 证明矩阵不可逆 247
2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 247
题型一 计算二阶矩阵的逆矩阵 248
题型二 计算分块矩阵的逆矩阵 248
2.2.3求解伴随矩阵的有关问题 249
题型一 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 249
题型二 求与伴随矩阵有关的逆矩阵 252
题型三 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 253
题型四 求伴随矩阵 254
题型五 证明伴随矩阵的性质 254
2.2.4求n阶矩阵高次幂的方法 255
2.2.5求矩阵的秩 260
题型一 求元素具体给定的矩阵的秩 261
题型二 求抽象矩阵的秩 261
题型三 已知矩阵的秩，求其待定常数 263
2.2.6分块矩阵的乘法运算 264
2.2.7求解矩阵方程 266
题型一 求解含或能化为含单位矩阵加项的矩阵方程 266
题型二 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 268
题型三 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 269
题型四 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 271
2.2.8初等变换与初等矩阵关系的应用 272
题型一 用初等矩阵表示相应的初等变换 272
题型二 利用初等矩阵的性质计算矩阵 273
2.2.9求解与矩阵等价的有关问题 274
题型一 判别两矩阵等价 274
题型二 利用等价的性质求解有关问题 275
习题2.2 276
2.3向量 280
2.3.1求解与向量组线性相关性有关的问题 280
题型一 用定义判定向量组线性相（无）关 280
题型二 判定向量组的线性相关性 282
题型三 证明两类向量组的线性相关性 283
题型四 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 286
2.3.2判定一向量（组）能否由另一向量组线性表出 287
题型一 判定分量已知的分量能否由向量组线性表出 287
题型二 判定一抽象向量能否由向量组线性表出 289
题型三 判定一向量组可否由另一向量组线性表出 290
2.3.3向量组的秩与其极大无关组的求（证）法 291
题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组 291
题型二 将向量用极大无关组线性表出 292
题型三 证一向量组为极大无关组 293
2.3.4两向量组等价的常用证法 294
2.3.5两向量组秩的关系的常用证法 296
2.3.6将线性无关向量组正交规范化 299
习题2.3 300
2.4线性方程组 302
2.4.1判定线性方程组解的情况 302
题型一 齐次线性方程组解的判定 302
题型二 非齐次线性方程组解的判定 303
2.4.2由其解反求方程组或其参数 306
题型一 已知AX=0的解的情况，求A中参数 306
题型二 已知AX=b的解的情况，求方程组中参数 307
题型三 已知一基础解系，反求其齐次线性方程组 307
2.4.3证明一组向量为基础解系的常用方法 308
2.4.4基础解系和特解的求法 309
2.4.5求解含参数的线性方程组 312
题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的方程组 312
题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的方程组 316
题型三 求解参数仅出现在常数项的方程组 316
题型四 求通解满足一定条件的含参数的方程组 317
2.4.6求抽象线性方程组的通解 318
题型一A没有具体给出，求AX=0的通解 318
题型二 已知AX=b的特解，求其通解 319
题型三 已知A的列向量的线性关系式，求AX=b的通解 321
2.4.7求（证明）两线性方程的（有）非零公共解 322
题型一 已知两线性方程组，求其公共解 322
题型二 已知两线性方程组的通解，求其非零公共解 323
题型三 已知一方程组的通解及另一方程组，求其非零公共解 324
题型四 证明两齐次线性方程组有非零公共解 325
题型五 求解与两线性方程组同解的有关问题 325
习题2.4 326
2.5矩阵的特征值、特征向量 329
2.5.1求矩阵的特征值、特征向量 329
题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 329
题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 333
2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 335
题型一 由特征值和（或）特征向量求矩阵的待定常数 335
题型二 已知特征值、特征向量反求其矩阵 337
2.5.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量 338
2.5.4判别矩阵能否相似对角化 339
题型一 判别元素给定的矩阵能否对角化 339
题型二 判别抽象矩阵能否对角化 341
2.5.5相似矩阵性质的简单应用 342
题型一 判定两矩阵是否相似 342
题型二 计算相似矩阵的特征值 342
题型三 计算相似矩阵的行列式 343
题型四 求相似矩阵的秩 343
题型五 确定相似矩阵中的参数 343
2.5.6将矩阵化为相似对角矩阵的计算 343
题型一 求方阵A中待定常数及可逆阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2， … ，λn） 343
题型二 求对称阵A中待定常数及正交阵Q，使Q-1AQ=diag（λ1，λ2， … ，λn） 345
习题2.5 347
2.6二次型 350
2.6.1求二次型的矩阵表示及其秩 350
题型一 将二次型写成矩阵形式并求出其矩阵 350
题型二 求二次型的秩 351
2.6.2化二次型为标准形或规范形 352
题型一 化二次型为标准形或规范形 353
题型二 已知标准形，反求该二次型及所用的坐标变换 355
2.6.3求二次型中的参数 356
题型一 已知二次型和其标准形，求其参数 356
题型二 求正定二次型中的参数或所满足的条件 357
2.6.4判别或证明二次型（实对称矩阵）的正定性 358
题型一 判别或证明二次型的正定性 358
题型二 证明抽象实对称矩阵的正定性 359
2.6.5证明（判别）两矩阵合同 363
习题2.6 366
第3篇 概率论 368
3.1随机事件和概率 368
3.1.1随机事件间的关系及运算 368
题型一 用式子表示事件关系及其运算 368
题型二 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 369
题型三 求满足一定条件的事件关系 370
3.1.2直接计算随机事件的概率 370
题型一 计算古典型概率 370
题型二 计算几何型概率 372
题型三 计算贝努利概型中事件的概率 374
3.1.3间接计算随机事件的概率 376
题型一 计算和事件的概率 376
题型二 计算差事件的概率 377
题型三 计算积事件的概率 377
题型四 求与包含关系有关的事件的概率 378
题型五 求与条件概率有关的事件的概率 378
题型六 求与他事件有关的单个事件的概率 379
题型七 判别或证明事件概率不等式 379
3.1.4几个计算概率公式的实际应用 380
题型一 用加法公式求解实际应用问题 380
题型二 用条件概率与乘法公式求解实际应用问题 381
题型三 用全概率公式和贝叶斯公式求解实际应用问题 381
题型四 利用抽签原理计算事件概率 385
3.1.5事件独立性的判别方法 386
习题3.1 389
3.2一维随机变量及其分布 391
3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用 391
题型一 判别分布列、概率密度及分布函数 392
题型二 确定与分布有关的待定常数 393
3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 395
题型一 求概率分布（分布律）及分布函数 395
题型二 求连续型随机变量的分布函数 397
题型三 求概率密度 399
3.2.3利用常用分布计算事件的概率 399
题型一 利用二项分布计算贝努利概型中事件的概率 399
题型二 利用超几何分布计算事件的概率 400
题型三 利用泊松分布计算事件的概率 401
题型四 利用均匀分布计算事件的概率 402
题型五 利用指数分布计算事件的概率 402
题型六 利用正态分布计算事件的概率 404
3.2.4求随机变量函数的分布 407
题型一 求离散型随机变量函数的概率分布 407
题型二 求连续型随机变量函数的分布 408
题型三 讨论随机变量函数分布的性质 413
习题3.2 415
3.3二维随机变量的联合概率分布 417
3.3.1求二维随机变量的分布 417
题型一 求二维离散型随机变量的联合概率分布（联合分布律） 417
题型二 求二维随机变量的边缘分布 420
题型三 由联合分布求边缘分布、条件分布 422
题型四 由边缘分布及条件分布，求联合分布 425
题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 427
3.3.2随机变量的独立性 427
题型一 判别两离散型随机变量的独立性 427
题型二 判别两连续型随机变量的独立性 428
题型三 利用独立性确定联合分布中的待定常数 432
3.3.3计算二维随机变量取值的概率 433
题型一 计算两离散型随机变量运算后取值的概率 433
题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 435
题型三 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率 436
题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 437
3.3.4求二维随机变量函数的分布 439
题型一 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律 439
题型二 已知（X，Y）的概率密度，求其分量和、差、积、商的分布 441
题型三 已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布 445
习题3.3 446
3.4随机变量的数字特征 449
3.4.1求一维随机变量的数字特征 449
题型一 求随机变量的数学期望与方差 449
题型二 求随机变量函数的数学期望与方差 453
题型三 计算随机变量的矩 456
3.4.2求二维随机变量的数字特征 457
题型一 已知（X，Y）的联合密度（或联合分布律），求E（X），E（Y），D（X），D（Y） 457
题型二求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差 460
题型三 计算协方差和相关系数 463
3.4.3计算两类分布的数字特征 467
题型一 计算正态分布的数字特征 467
题型二 计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征 469
3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系 471
题型一 确定两随机变量相关与不相关 471
题型二 讨论相关性与独立性的关系 472
3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数 474
3.4.6求解实际应用题和综合应用题 475
题型一 求解涉及随机变量分布、期望和方差的实际应用题 475
题型二 求解与概率论及其他数学分支有关的综合应用题 477
习题3.4 480
3.5中心极限定理 483
3.5.1用切比？夫不等式估计事件的概率 483
3.5.2大数定律成立的条件和结论 485
题型一 利用三个大数定律之条件、结论解题 487
题型二 求随机变量序列依概率的收敛值 488
3.5.3两个中心极限定理的简单应用 489
题型一 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率 489
题型二 已知随机变量取值的概率，估计取值范围 490
题型三 应用列维-林德伯格中心极限定理之条件、结论解题 491
题型四 近似计算n个随机变量之和取值的概率 492
题型五 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 492
习题3.5 493
习题答案与提示 495