第一章 流形的例子 1
1．流形的概念 1
1．流形的定义 1
2．流形的映射；流形上的张量 4
3．流形的嵌入和浸入．带边界流形 7
2．最简单的流形例子 8
1．欧几里得空间中的曲面．流形上的变换群 8
2．射影空间 12
3．李群理论中的必需结果 15
1．李群单位元的邻域结构．李群的李代数．半单性 15
2．（线性）表示的概念．非矩阵李群的例子 21
4．复流形 24
1．定义和例子 24
2．作为流形的黎曼面 29
5．最简单的齐性空间 31
1．群在流形上的作用 31
2．齐性空间的例子 32
6．常曲率空间（对称空间） 36
1．对称空间的概念 36
2．等距群及其李代数的性质 38
3．1型和2型对称空间 40
4．作为对称空间的李群 41
5．对称空间的构造．一些例子 43
7．流形上的切丛 46
1．与切向量有关的构造 46
2．子流形的法丛 48
第二章 基本问题．函数论中一些必需的结果．典型的光滑映射 51
8．单位分解及其应用 51
1．单位分解 51
2．单位分解的最简单的应用．流形上的积分和斯托克斯公式 54
3．不变度量 59
9．紧流形作为曲面在Rn中的实现 60
10．流形的光滑映射的某些性质 61
1．用光滑映射逼近连续映射 61
2．萨德定理 62
3．横截正则性 65
4．莫尔斯函数 68
11．萨德定理的应用 71
1．嵌入和浸入的存在性 71
2．作为高度函数构造莫尔斯函数 73
3．焦点 75
第三章 映射度和相交指数及其应用 78
12．同伦的概念 78
1．同伦的定义．映射和同伦的光滑逼近 78
2．相对同伦 80
13．映射度 80
1．度的定义 80
2．基本定义的推广 82
3．流形到球面的映射的同伦分类 83
4．最简单的例子 84
14．映射度的若干应用 86
1．积分与映射度 86
2．超曲面上的向量场的度 87
3．惠特尼数．高斯-博内公式 89
4．向量场奇点的指标 92
5．向量场的横截曲面．庞加莱-本迪克松定理 95
15．相交指数及其应用 98
1．相交指数的定义 98
2．向量场的全指数 99
3．不动点的代数个数．布劳威尔定理 101
4．环绕系数 103
第四章 流形的可定向性．基本群．覆叠空间（具离散纤维的纤维丛） 105
16．可定向性和闭路的同伦 105
1．定向沿路径的移动 105
2．不可定向流形的例子 107
17．基本群 107
1．基本群的定义 107
2．与基点的关系 109
3．圆周的映射的自由同伦类 109
4．同伦等价 110
5．一些例子 111
6．基本群和可定向性 113
18．覆叠映射和覆叠同伦 113
1．覆叠映射的定义和基本性质 113
2．最简单的例子．万有覆叠 115
3．分支覆叠．黎曼面 117
4．覆叠与离散变换群 119
19．覆叠与基本群．某些流形的基本群的计算 119
1．单值 119
2．利用覆叠计算基本群 121
3．最简单的同调群 124
20．罗巴切夫斯基平面的离散运动群 126
第五章 同伦群 137
21．绝对同伦群和相对同伦群的定义．例 137
1．基本定义 137
2．相对同伦群．偶的正合序列 140
22．覆叠同伦．覆叠空间的同伦群和闭路空间 143
1．纤维化概念 143
2．纤维化的正合序列 144
3．同伦群对基点的依赖性 147
4．李群的情形 149
5．怀特黑德乘法 151
23．球面同伦群的若干结果．装配流形．霍普夫不变量 153
1．装配流形和球面的同伦群 153
2．纬垂映射 157
3．群πn+1（Sn）的计算 158
4．群πn+2(Sn) 160
第六章 光滑纤维丛 163
24．纤维丛的同伦理论 163
1．光滑纤维丛的概念 163
2．联络 167
3．借助于纤维丛计算同伦群 169
4．纤维丛的分类 175
5．向量丛和向量丛的运算 179
6．亚纯函数 180
7．皮卡-莱夫谢茨公式 184
25．纤维丛的微分几何学 186
1．主丛上的G联络 186
2．伴随丛中的G联络．例 191
3．曲率 194
4．示性类．构造 199
5．示性类．枚举 205
26．纽结和链环．辫 211
1．纽结群 211
2．亚历山大多项式 213
3．与纽结相关的纤维丛 213
4．链环 216
5．辫 216
第七章 动力系统的某些例子和流形的叶状结构 219
27．动力系统定性理论的最简单的一些概念．2维流形 219
1．基本定义 219
2．环面上的动力系统 222
28．流形上的哈密顿系统．刘维尔定理．例 226
1．余切丛上的哈密顿系统 226
2．流形上的哈密顿系统．例 227
3．测地流 231
4．刘维尔定理 232
5．例 235
29．叶状结构 238
1．基本定义 238
2．余维数1的叶状结构的例子 241
30．具高阶导数的变分问题．哈密顿场系统 245
1．具高阶导数的问题的哈密顿形式体系 245
2．例 248
3．场系统的哈密顿形式体系 251
第八章 高维变分问题解的整体结构 260
31．广义相对论（OTO）中的某些流形 260
1．问题的表达 260
2．球对称解 261
3．轴对称解 268
4．宇宙模型 272
5．弗里德曼模型 274
6．各向异性真空模型 277
7．更一般的模型 280
32．杨-米尔斯方程的某些整体解的例子．手征场 286
1．总的评注．单极型解 286
2．对偶性方程 290
3．手征场．狄利克雷积分 293
33．复子流形的极小性 302
参考文献 306
索引 307