第一篇 分析引论 1
第一章 集合与映射 1
第一节 集合及其运算 1
1.1 集合的概念与记号 1
1.2 集合的运算 2
1.3 集合的运算法则 3
1.4 乘积集 4
习题1.1 4
第二节 实数集及其完备性 5
2.1 实数集的性质与不等式 5
2.2 常量和变量 6
2.3 区间和邻域 7
2.4 实数集的完备性与确界公理 7
习题1.2 9
第三节 映射与函数 10
3.1 映射概念及相关问题 10
3.2 函数概念及其运算 12
3.3 函数的几种特性 18
3.4 函数应用举例 19
习题1.3 22
第二章 极限 25
第一节 无穷小量与无穷大量 25
1.1 无穷小量与无穷大量的概念 26
1.2 无穷小量与无穷大量的运算 28
习题2.1 30
第二节 变量的极限及其性质 32
2.1 变量的极限概念 32
2.2 函数的极限 32
2.3 变量极限的性质 36
习题2.2 37
第三节 极限的运算法则 39
3.1 四则运算法则 39
3.2 夹逼法则 42
3.3 极限？ 43
3.4 复合运算法则 43
习题2.3 45
第四节 单调有界原理与无理数e 47
4.1 单调有界原理 47
4.2 极限？ 49
习题2.4 51
第五节 无穷小量的阶 52
5.1 无穷小量的阶 52
5.2 利用无穷小量等价代换求极限 52
习题2.5 53
第六节 极限应用举例 54
习题2.6 59
第三章 连续函数 61
第一节 函数的连续性 61
1.1 函数连续的概念 61
1.2 函数的间断点及其分类 63
习题3.1 64
第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性 65
2.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 65
2.2 反函数的连续性 66
2.3 复合函数的连续性 66
2.4 初等函数的连续性 66
2.5 利用初等函数的连续性求极限 67
习题3.2 68
第三节 闭区间上连续函数的性质 69
3.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质 69
3.2 闭区间上连续函数的介值性质 71
习题3.3 73
第四章 常数项级数 74
第一节 数项级数的概念与性质 74
1.1 数项级数的概念 74
1.2 数项级数的性质 77
习题4.1 78
第二节 正项级数的收敛判别法 79
2.1 正项级数的收敛准则 79
2.2 比较判别法 80
2.3 比值判别法 82
2.4 根值判别法 84
习题4.2 85
第三节 任意项级数的收敛判别法 86
3.1 交错级数及其收敛判别法 86
3.2 绝对收敛与条件收敛 88
3.3 级数的乘法运算 89
习题4.3 90
第五章 极限概念的精确化与实数基本定理 92
第一节 极限概念的精确化 92
1.1 函数极限的精确定义 92
1.2 用精确的极限定义论述极限问题 95
习题5.1 98
第二节 实数基本定理 99
2.1 单调有界原理的证明 99
2.2 区间套定理 100
2.3 致密性定理 101
2.4 Cauchy收敛准则 103
习题5.2 106
第三节 闭区间上连续函数性质的证明 107
3.1 有界性定理 108
3.2 最大（小）值定理 108
3.3 介值定理 110
习题5.3 111
第四节 函数的一致连续性 111
4.1 函数的一致连续性概念 111
4.2 Cantor一致连续性定理 113
习题5.4 114
第二篇 一元函数微积分 115
第六章 导数与微分 115
第一节 导数概念 115
1.1 引出导数概念的几个经典问题 115
1.2 导数定义 119
1.3 求导举例 120
1.4 函数的可导性与连续性的关系 123
1.5 导数在其他学科中应用举例 124
习题6.1 125
第二节 求导法则 127
2.1 函数和、差、积、商的求导法则 127
2.2 反函数的求导法则 129
2.3 复合函数的求导法则——链式法则 130
2.4 初等函数的导数 132
2.5 隐函数求导法 133
2.6 由参数方程所确定的函数的求导法 134
2.7 高阶导数 136
2.8 相关变化率 138
习题6.2 141
第三节 微分 145
3.1 微分概念 145
3.2 微分运算法则 147
3.3 高阶微分 148
3.4 利用微分作近似计算 149
习题6.3 150
第四节 利用导数求极限——L'Hospital法则 152
4.1 0/0型未定式的极限 152
4.2 ∞/∞型未定式的极限 154
4.3 其他类型未定式的极限 155
习题6.4 157
第七章 微分中值定理与Taylor公式 159
第一节 微分中值定理 159
1.1 Lagrange微分中值定理的发现 159
1.2 Lagrange微分中值定理的证明 161
1.3 Lagrange微分中值定理的推广——Cauchy中值定理 163
习题7.1 165
第二节 Taylor公式 167
2.1 Taylor多项式与Taylor公式 167
2.2 Taylor公式的余项估计 168
2.3 一些初等函数的Maclaurin公式 171
2.4 Taylor公式的简单应用 173
习题7.2 174
第八章 利用导数研究函数的性态 176
第一节 函数的单调性与极值 176
1.1 函数的单调性 176
1.2 函数的极值 177
1.3 极值问题的最优性条件 178
1.4 最大值与最小值 181
习题8.1 183
第二节 凸函数 185
2.1 凸函数概念 185
2.2 判定函数凸性的充分条件 186
2.3 凸函数的极值性质 188
习题8.2 188
第三节 平面曲线的曲率 189
3.1 弧微分 189
3.2 曲率概念 190
3.3 曲率的计算 192
3.4 曲率圆与曲率半径 193
习题8.3 195
第九章 积分及其应用 197
第一节 定积分概念 197
1.1 引出定积分概念的几个经典问题 197
1.2 定积分概念 200
1.3 定积分的几何意义 202
习题9.1 204
第二节 定积分的存在条件 205
2.1 可积的必要条件 205
2.2 可积函数类 205
2.3 可积性准则 206
习题9.2 208
第三节 定积分的性质及积分中值定理 209
3.1 定积分的性质 209
3.2 积分中值定理 211
3.3 可积函数的一些性质 214
习题9.3 216
第四节 微积分基本定理 217
4.1 Newton-Leibniz公式 218
4.2 原函数存在定理 220
习题9.4 223
第五节 不定积分与积分法则 225
5.1 不定积分的概念及性质 225
5.2 基本积分表 226
5.3 积分法则 227
习题9.5 232
第六节 换元积分法与分部积分法 234
6.1 换元积分法 234
6.2 分部积分法 241
6.3 积分表的使用方法 247
习题9.6 249
第七节 反常积分 252
7.1 无穷区间上的积分 253
7.2 无界函数的积分 255
7.3 反常积分的审敛法 257
7.4 绝对收敛 261
习题9.7 262
第八节 定积分应用举例 263
8.1 定积分的微元法 264
8.2 几何应用举例 264
8.3 物理应用举例 269
习题9.8 273
第九节 微分方程的初等积分法 275
9.1 微分方程的几个基本概念 276
9.2 一阶变量分离方程 279
9.3 一阶齐次微分方程 281
9.4 一阶线性微分方程 283
9.5 利用变量代换求解微分方程 287
9.6 可降阶的高阶微分方程 289
9.7 应用举例 293
习题9.9 296
附录A 积分表 301
附录B 向量代数与空间解析几何简介 310
第一节 向量及其线性运算 310
1.1 向量的概念 310
1.2 向量的线性运算 311
习题B.1 314
第二节 空间直角坐标系 314
2.1 空间点的直角坐标 314
2.2 空间两点间的距离 316
习题B.2 317
第三节 向量的坐标 317
3.1 向量的坐标 317
3.2 利用坐标作向量的线性运算 318
3.3 向量的乘积运算 319
习题B.3 325
第四节 平面和空间直线的方程 325
4.1 平面的方程 326
4.2 空间直线的方程 329
4.3 平面与直线的相关问题 331
习题B.4 336
第五节 曲面与空间曲线 338
5.1 曲面的方程 338
5.2 球面、柱面和旋转曲面 338
5.3 空间曲线的方程 341
5.4 空间曲线在坐标面上的投影 342
5.5 二次曲面 344
习题B.5 349
附录C 常见曲面所围成的立体图形 351
习题答案与提示 361
主要参考书 396