第十章 函数及其图像 1
10.1 集合 1
Ⅰ．集合的概念 1
Ⅱ．集合的表示方法 3
Ⅲ．集合的种类 4
Ⅳ．集合相等 5
Ⅴ．集合的运算 6
Ⅵ．集合的运算规律 9
Ⅶ．集合分离 21
习题10.1 21
10.2 实数集 23
Ⅰ．实数与数轴 23
Ⅱ．区间 24
Ⅲ．实数的绝对值 24
Ⅳ．邻域 28
习题10.2 34
10.3 关系 35
Ⅰ．序偶与笛卡儿乘积 35
Ⅱ．关系 36
习题10.3 42
10.4 函数关系 42
Ⅰ．量、常量和变量 42
Ⅱ．函数的定义 43
Ⅲ．函数关系中的一一对应概念 47
Ⅳ．显函数与隐函数 47
Ⅴ．分段函数 48
Ⅵ．函数定义域的求法 49
Ⅶ．函数值的求法 52
习题10.4 54
Ⅷ．建立函数关系的方法 57
习题10.5 61
Ⅸ．函数的几种表示方法 63
10.5 函数的几种特性 64
Ⅰ．函数的奇、偶性 64
Ⅱ．函数的周期性 66
Ⅲ．函数的单调增，减性 70
Ⅳ．函数的有界性 73
习题10.6 74
10.6 反函数 75
Ⅰ．反函数的概念 75
Ⅱ．反函数的求法 76
Ⅲ．反函数和它的直接函数之间的关系 77
习题10.7 81
10.7 基本初等函数 82
Ⅰ．基本初等函数的概念 82
Ⅱ．常值函数y=C（C为常量） 82
Ⅲ．幂函数y=xα（α为实数） 83
Ⅳ．指数函数y=ax（a＞0但≠1） 84
Ⅴ．对数函数y=logαx（a＞0但≠1） 85
Ⅵ．三角函数 85
Ⅶ．反三角函数 87
习题10.8 95
10.8 复合函数 97
Ⅰ．复合函数的概念 97
Ⅱ．复合函数的定义域及其求法 99
Ⅲ．剖析复合函数复合层次的方法 101
习题10.9 102
10.9 双曲函数 102
Ⅰ．双曲正弦函数 102
Ⅱ．双曲余弦函数 104
Ⅲ．双曲正切函数 104
Ⅳ．双曲余切函数 105
Ⅴ．双曲正割函数 105
Ⅵ．双曲余割函数 106
Ⅶ．双曲函数间的基本关系式 107
Ⅷ．反双曲函数 109
Ⅸ．双曲函数与三角函数的比较 115
习题10.10 118
10.10 初等函数的定义 118
10.11 函数图像的平移，伸缩和叠加 121
Ⅰ．函数图像的平移 121
Ⅱ．函数图像的伸缩 122
Ⅲ．函数图像的叠加 124
习题10.11 125
10.12 本章的小结与要求 127
Ⅰ．内容小结 127
Ⅱ．本章要求 141
第十一章 极限 142
11.1 数列及其简单性质 142
Ⅰ．数列的定义 142
Ⅱ．数列的性质 144
11.2 数列的极限 145
Ⅰ．实例分析 145
Ⅱ．数列极限的定义 147
Ⅲ．数列极限的几何意义 148
Ⅳ．收敛数列的性质 153
习题11.1 155
11.3 函数的极限 156
Ⅰ．自变量趋于常数时函数的极限 157
Ⅱ．函数在一点处的左极限和右极限 167
Ⅲ．分段函数的极限 167
Ⅳ．自变量的绝对值趋向无限大时函数的极限 170
习题11.2 172
11.4 无穷大·无穷小 173
Ⅰ．函数为无穷大 173
Ⅱ．函数为无穷小 176
Ⅲ．无穷大与无穷小的关系 178
Ⅳ．有极限的函数的性质 180
习题11.3 183
11.5 无穷小的性质 184
11.6 极限的四则运算法则 188
Ⅰ．极限的加法运算法则 189
Ⅱ．极限的乘法运算法则 190
Ⅲ．极限的除法运算法则 192
习题11.4 201
11.7 极限存在准则，两个重要极限 203
Ⅰ．极限存在准则 203
Ⅱ．两个重要极限 204
习题11.5 214
11.8 无穷小的比较 216
Ⅰ．高阶无穷小 217
Ⅱ．低阶无穷小 217
Ⅲ．同阶无穷小 217
Ⅳ．等价无穷小 218
Ⅴ．K价无穷小 218
Ⅵ．无穷小的主部 219
Ⅶ．等价无穷小的性质 220
习题11.6 221
11.9 综合性习题选讲 222
习题11.7 226
11.10 本章的小结与要求 228
Ⅰ．本章小结 228
Ⅱ．本章要求 233
第十二章 函数的连续性 234
12.1 函数连续的定义 234
Ⅰ．变量的概念 234
Ⅱ．函数在一点处连续的定义 235
Ⅲ．函数在区间上连续的定义 237
Ⅳ．连续函数的几何意义 237
12.2 函数的间断点 244
Ⅰ．函数在一点处间断的概念 244
Ⅱ．间断点的分类 244
习题12.1 248
12.3 闭区间上连续函数的性质 251
Ⅰ．函数在闭区间上连续的概念 251
Ⅱ．闭区间上连续函数的性质 251
Ⅲ．函数的一致连续性 253
习题12.2 258
12.4 连续函数的和、积、商的连续性 258
Ⅰ．连续函数和（代数和）的连续性 258
Ⅱ．连续函数的乘积的连续性 259
Ⅲ．连续函数的商的连续性 260
12.5 反函数的连续性 261
习题12.3 266
12.6 复合函数的连续性 266
12.7 基本初等函数的连续性 268
12.8 初等函数的连续性 268
习题12.4 270
12.9 本章的小结与要求 271
Ⅰ．本章小结 271
Ⅱ．本章要求 272
第十三章 导数与微分 273
13.1 导数的概念 274
Ⅰ．实例分析 274
Ⅱ．导数的定义 279
Ⅲ．导函数的概念 280
Ⅳ．可导的必要条件 281
Ⅴ．导数的几何意义 284
习题13.1 287
13.2 基本初等函数的导数 288
Ⅰ．三角函数的导数 288
Ⅱ．反三角函数的导数 294
Ⅲ．指数函数的导数 295
Ⅳ．对数函数的导数 296
Ⅴ．幂函数的导数 297
Ⅵ．常量的导数 298
13.3 函数的和、差、积、商的导数 299
Ⅰ．函数和的导数 299
Ⅱ．函数差的导数 300
Ⅲ．函数乘积的导数 301
Ⅳ．两个函数之商的导数 303
13.4 反函数的导数 306
13.5 复合函数的导数 309
13.6 双曲函数及反双曲函数的导数 314
Ⅰ．双曲函数的导数 314
Ⅱ．反双曲函数的导数 317
13.7 幂指函数的导数 322
Ⅰ．幂指函数的概念 322
Ⅱ．幂指函数的导数 322
习题13.2 324
13.8 隐函数的导数 327
Ⅰ．隐函数的概念 327
Ⅱ．隐函数的求导方法 328
13.9 由参数方程确定的函数的导数 330
13.10 高阶导数 335
Ⅰ．高阶导数的概念 335
Ⅱ．高阶导数的求法 336
习题13.3 341
13.11 微分概念 343
Ⅰ．问题的提示 343
Ⅱ．微分的定义 344
Ⅲ．微分的求法及其运算法则 345
Ⅳ．微分的几何意义 346
Ⅴ．微分公式与导数公式的关系 347
Ⅵ．微分的形式不变性 349
13.12 微分的应用 350
Ⅰ．利用微分作近似计算 350
Ⅱ．利用微分作误差估计 353
习题13.4 356
13.13 本章的小结与要求 358
Ⅰ．本章的小结 358
Ⅱ．本章要求 361
第十四章 中值定理、导数的应用 362
14.1 中值定理 362
Ⅰ．罗尔中值定理 363
Ⅱ．拉格朗日中值定理 365
Ⅲ．柯西中值定理 369
习题14.1 379
14.2 未定式的极限·罗必达法则 380
Ⅰ．未定式的概念 380
Ⅱ．0/0型未定式的极限 380
Ⅲ．∞/∞型未定式的极限 385
Ⅳ．其他未定式的极限 393
习题14.2 397
14.3 台劳（Taylor）公式 399
Ⅰ．问题的提出 399
Ⅱ．台劳定理与台劳公式 407
习题14.3 419
14.4 函数单调增减性的判定法 420
Ⅰ．函数单调增减的必要条件 421
Ⅱ．函数单调增减的充分条件 422
习题14.4 426
14.5 函数的极值及其求法 427
Ⅰ．函数极值的概念 428
Ⅱ．极值存在的必要条件 429
Ⅲ．极值存在的充分条件 431
Ⅳ．极值的求法 435
习题14.5 440
14.6 函数最值的求法 440
Ⅰ．单调函数最值的求法 441
Ⅱ．不单调函数最值的求法 441
习题14.6 455
14.7 曲线的凹、凸性及其判定方法 457
Ⅰ．曲线凹、凸的定义 457
Ⅱ．曲线凹、凸性的判定方法 458
14.8 曲线的拐点及其求法 461
Ⅰ．拐点的概念 461
Ⅱ．拐点的判定方法 461
Ⅲ．求拐点的方法与步骤 462
习题14.7 467
14.9 曲线的渐近线 468
Ⅰ．渐近线的概念 468
Ⅱ．渐近线的种类 468
Ⅲ．渐近线的求法 469
习题14.8 474
14.10 函数图像的描绘方法 474
习题14.9 492
14.11 弧微分，曲率 493
Ⅰ．弧微分 493
Ⅱ．曲线的曲率 496
14.12 曲线的曲率半径、曲率圆、曲率中心 503
Ⅰ．曲率半径、曲率圆和曲率中心的概念 503
Ⅱ．曲率中心的求法 503
Ⅲ．曲线的渐屈线 506
习题14.10 512
14.13 代数方程的近似解法 512
Ⅰ．代数方程在某区间内实根存在且唯一的充分条件 513
Ⅱ．弦位法 515
Ⅲ．切线法（又称牛顿法） 519
Ⅳ．综合法 523
习题14.11 536
14.14 本章的小结与要求 537
Ⅰ．本章小结 537
Ⅱ．本章的要求 545
第十五章 多元函数的微分法及其应用 547
15.1 多元函数的概念 547
Ⅰ．多元函数问题举例 547
Ⅱ．平面区域和平面点的邻域 548
Ⅲ．空间区域和空间点的邻域 549
Ⅳ．区域的内点，外点和边界点 549
Ⅴ．多元函数的定义 550
Ⅵ．多元函数的函数值的求法 554
习题15.1 556
15.2 二元函数的极限及连续性 557
Ⅰ．二元函数的极限 557
Ⅱ．二元函数极限的几何意义 559
Ⅲ．二元函数的连续性 559
15.3 三元函数的极限及连续性 561
Ⅰ．三元函数的极限 561
Ⅱ．三元函数的连续性 562
15.4 n元函数的极限及连续性 562
Ⅰ．n元函数的极限 563
Ⅱ．n元函数的连续性 563
15.5 多元连续函数的性质 564
习题15.2 567
15.6 多元函数的偏导数 568
Ⅰ．偏导数的概念 568
Ⅱ．二元函数偏导数的几何意义 570
Ⅲ．偏导数的求法 571
Ⅳ．多元函数可导与连续的关系 574
习题15.3 575
15.7 多元函数的全增量与全微分 576
Ⅰ．多元函数的全增量 576
Ⅱ．多元函数的全微分 577
15.8 多元函数的方向导数 596
Ⅰ．二元函数的方向导数 596
Ⅱ．三元函数的方向导数 599
习题15.4 601
15.9 多元复合函数的微分法 602
Ⅰ．多元复合函数偏导数的求法 603
Ⅱ．多元复合函数的全导数 610
Ⅲ．全微分的形式不变性 612
习题15.5 614
15.10 高阶偏导数 615
Ⅰ．高阶偏导数的概念 615
Ⅱ．混合偏导数的性质 617
习题15.6 638
15.11 隐函数的存在条件及其微分法 639
Ⅰ．隐函数的存在条件 640
Ⅱ．隐函数的微分法 640
习题15.7 647
15.12 空间曲线的切线及法平面 648
Ⅰ．空间曲线的切线 648
Ⅱ．空间曲线的法平面 650
15.13 空间曲面的切平面及法线 654
Ⅰ．方程为隐式的曲面的切平面及法线方程 654
Ⅱ．方程为显式的曲面的切平面及法线方程 656
习题15.8 665
15.14 二元函数的台劳公式 667
习题15.9 681
15.15 多元函数的极值 682
Ⅰ．二元函数的极值的概念 682
Ⅱ．二元函数极值存在的必要条件 683
Ⅲ．二元函数极值存在的充分条件 686
Ⅳ．二元函数z=f（x,y）极值的求法 694
Ⅴ．二元函数的最值问题 702
15.16 条件极值—拉格朗日乘数法则 709
Ⅰ．问题的提出 709
Ⅱ．条件极值的定义 709
Ⅲ．条件极值的求法 710
Ⅳ．拉格朗日乘数法则 712
习题15.10 718
15.17 本章的小结与要求 719
Ⅰ．本章内容小结 719
Ⅱ．本章的基本要求 730
附录 731
1．反证法 731
2．一一对应 733
3．对应 733
4．法则 734
5．牛顿二项式定理 734
6．自然数的平方和公式 735