第一章 实分析概要 1
第一节 集合及其运算 1
1.1 集合的概念 1
1.2 集合的运算 3
第二节 实数的完备性 6
2.1 有理数的稠密性 6
2.2 实数的完备性定理 8
第三节 可数集与不可数集 18
3.1 映射 19
3.2 可数集与不可数集，集合的势 21
第四节 直线上的点集与连续函数 25
4.1 开集、闭集及其性质 26
4.2 开集的构造 29
4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 33
4.4 函数列的一致收敛性 37
第五节 点集的勒贝格测度与可测函数 42
5.1 从黎曼积分到勒贝格积分 43
5.2 点集的勒贝格测度 48
5.3 可测函数 55
第六节 勒贝格积分 61
6.1 勒贝格积分的定义及其基本性质 61
6.2 积分序列的极限定理 68
习题 76
第二章 距离空间 81
第一节 距离空间的基本概念 81
第二节 距离空间中的开集、闭集与连续映射 92
2.1 距离空间中的开集与闭集 92
2.2 距离空间上的连续映射 95
2.3 拓扑空间简介 97
第三节 距离空间的可分性与完备性 100
3.1 距离空间的可分性 100
3.2 距离空间的完备性 102
3.3 距离空间的完备化 104
第四节 压缩映射原理及其应用 105
第五节 列紧性与紧性 112
习题 120
第三章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子 122
第一节 线性赋范空间与巴拿赫空间 122
1.1 线性空间 124
1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间 129
1.3 线性赋范空间的基本性质 130
1.4 有限维线性赋范空间 132
第二节 有界线性算子与有界线性泛函 137
2.1 有界线性算子的定义及性质 137
2.2 线性算子空间 143
2.3 有界线性泛函与共轭空间 146
第三节 内积空间与希尔伯特空间 156
3.1 内积空间、希尔伯特空间的定义 156
3.2 正交分解与投影定理 160
3.3 希尔伯特空间中的正交系 167
3.4 可分希尔伯特空间及同构性 174
3.5 希尔伯特空间的自共轭性 177
第四节 共轭算子与自共轭算子 179
4.1 巴拿赫空间中的共轭算子 179
4.2 希尔伯特空间中的自共轭算子 183
习题 186
第四章 泛函分析的基本定理与谱论初步 189
第一节 巴拿赫空间的基本定理 189
1.1 半序集 佐恩引理 189
1.2 汉恩－巴拿赫定理 192
1.3 一致有界定理 193
1.4 巴拿赫逆算子定理与闭图象定理 196
1.5 弱收敛 204
章二节 谱论初步 210
2.1 谱的概念及性质 212
2.2 黎斯－萧德尔理论简介 216
2.3 自共轭算子谱论初步 218
习题 223
参考书 226