第1章 金融领域中的数学模型 1
1.1 债券和利率 1
1.2 证券市场和股票的波动 4
1.3 资产组合 7
1.4 期权定价理论和套利定价 9
习题1 13
第2章 概率空间 14
2.1 概率空间与随机变量 14
2.2 随机变量的数字特征 18
2.3 随机向量及其联合分布 21
2.4 条件数学期望 25
2.5 矩母函数和特征函数 28
2.6 σ-域与一般条件数学期望 33
习题2 37
第3章 随机过程 40
3.1 随机过程的基本概念 40
3.2 随机过程的数字特征 41
3.3 离散时间和离散型随机过程 43
3.4 正态随机过程 45
3.5 Poisson过程 46
3.6 平稳随机过程 50
习题3 54
第4章 Poisson过程 56
4.1 齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布 56
4.2 非齐次Poisson过程和复合Poisson过程 63
4.3 年龄与剩余寿命 67
4.4 更新过程 70
4.4.1 更新过程的定义和概念 70
4.4.2 更新过程的均值函数 71
4.4.3 更新方程 74
4.4.4 极限定理与基本更新定理 77
4.4.5 Blackwell定理与关键更新定理 82
习题4 88
第5章 离散参数Markov链 90
5.1 Markov链的基本概念 90
5.2 Chapman-Kolmogorov方程 96
5.3 Markov链的状态分类 98
5.4 闭集与状态空间的分解 108
5.5 转移概率的极限状态与平稳分布 115
5.6 从随机游动到Black-Scholes公式 129
5.6.1 随机游动和股价过程 130
5.6.2 欧式期权和美式期权的定价公式 131
5.6.3 Black-Scholes公式 133
5.7 Markov链在金融、经济中的应用举例 137
5.7.1 多项式期权定价公式 137
5.7.2 Markov链与公司经营状况 138
习题5 139
第6章 连续时间Markov链 143
6.1 连续时间Markov链的定义 143
6.2 极限定理和Kolmogorov方程 147
6.3 生灭过程 155
6.4 生灭过程与股票价格过程 160
习题6 163
第7章 Brown运动 166
7.1 Brown运动的背景及应用 166
7.2 Brown运动的定义及基本性质 171
7.3 Brown运动的推广 173
7.4 标准Brown运动的联合分布 178
7.5 Brown运动的首中时及最大值 181
7.6 Brown运动轨道的性质 183
7.7 Brown运动在金融、经济中的应用举例 187
7.8 Poisson过程在证券价格波动中的应用 188
习题7 193
第8章 鞅及其应用 195
8.1 鞅的定义及其性质 195
8.2 上鞅、下鞅及分解定理 203
8.3 停时与停时定理 204
8.4 条件期望的投影性及鞅的应用 208
习题8 211
第9章 随机微分方程及其在金融中的应用 214
9.1 随机积分 214
9.1.1 Brown运动的随机积分 216
9.1.2 简单过程的伊藤随机积分 218
9.1.3 一般伊藤随机积分 221
9.2 Ito随机微分方程 223
9.2.1 Ito随机微分方程定义 223
9.2.2 应用Ito公式求解Ito随机微分方程 227
9.3 随机微积分在金融中的应用 232
9.3.1 基本概念与基本定义 233
9.3.2 期权定价的数学公式 238
9.3.3 Black-Scholes期权定价公式 241
9.4 测度变换与Black-Scholes公式 247
9.4.1 Girsanov's定理 247
9.4.2 测度变换与Black-Scholes公式 249
习题9 252
部分习题参考答案 255
参考文献 260