第一篇 必修内容 3
第一章 微积分的基础和研究对象 3
1 微积分的基础——集合、实数和极限 3
1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 3
1.2 极限、实数、集合在微积分中的作用 4
1.3 实数系的建立及邻域概念 5
2 微积分的研究对象——函数 7
2.1 变量相依关系的数学模型——函数 8
2.2 逆向思维一例——反函数 10
2.3 基本初等函数 11
2.4 复合函数 13
2.5 初等函数的含义 14
2.6 MM能力培养 15
阅读材料（1） 数学思想方法简介 18
悖论浅谈 18
阅读材料（2） 数学家简介 20
（一）数学之神——阿基米德 20
（二）双目失明的数学家——欧拉 21
习题一 22
第二章 微积分的直接基础——极限 24
1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限 25
1.1 数列的概念 25
1.2 数列极限的定性描述 26
1.3 数列极限的定量描述 27
1.4 数列极限中蕴含的辩证思想 31
2 函数极限 31
2.1 自变量x无限趋近于有限数x0时的情形 31
2.2 左极限和右极限 34
2.3 自变量x的绝对值无限增大时的情形 34
2.4 函数极限的性质 35
2.5 无穷大量与无穷小量 36
2.6 极限的四则运算 38
2.7 两个重要的极限公式 40
3 极限应用的一个例子——连续函数 41
3.1 连续函数的概念 41
3.2 连续函数求极限的法则 43
3.3 初等函数的连续性 44
3.4 闭区间上连续函数的性质 46
阅读材料（1） 数学思想方法简介 48
数学思维 48
阅读材料（2） 数学家简介 50
我国古代伟大数学家——祖冲之 50
习题二 51
第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 54
1 函数的局部变化率——导数 55
1.1 抽象导数概念的两个现实原型 55
1.2 导数概念 57
1.3 求导过程的哲学分析 60
1.4 左导数和右导数 61
1.5 函数的连续性与可导性之间的关系 61
1.6 高阶导数的概念 62
2 求导数的方法——法则与公式 63
2.1 求导法则 63
2.2 基本初等函数的求导公式 67
3 局部改变量的估值问题——微分及其运算 69
3.1 微分 69
3.2 微分公式和法则 71
3.3 微分在近似计算中的应用 72
阅读材料（1） 数学思想方法简介 73
数学抽象 73
阅读材料（2） 数学家简介 75
科学巨擘——牛顿 75
习题三 78
第四章 导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质和图像 80
1 联结局部与整体的纽带——中值定理 80
1.1 费马定理 81
1.2 中值定理（拉格朗日） 82
2 计算不定式极限的一般方法——洛必达法则 83
2.1 两个基本类型不定式 83
2.2 其他类型的不定式 85
3 用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值 86
3.1 函数的单调性 86
3.2 函数的极值 87
3.3 函数的最大值和最小值 89
4 利用导数研究函数的图像——曲线的绘制 91
4.1 曲线的弯曲方向——凹凸性 91
4.2 利用导数绘制函数的图像 91
阅读材料（1） 数学思想方法简介 94
数学构造法 94
阅读材料（2） 数学家简介 96
业余数学家之王——费马 96
习题四 97
第五章 微分的逆运算问题——不定积分 99
1 逆向思维又一例——原函数与不定积分 99
1.1 原函数与不定积分的概念 99
1.2 基本积分公式 102
1.3 不定积分的线性运算法则 103
2 矛盾转化法——换元积分法与分部积分法 104
2.1 换元积分法 104
2.2 分部积分法 109
阅读材料（1） 数学思想方法简介 111
关系映射反演方法 111
阅读材料（2） 数学家简介 112
符号大师——莱布尼茨 112
习题五 114
第六章 求总量的问题——定积分 115
1 特殊和式的极限——定积分的概念 115
1.1 抽象定积分概念的两个现实原型 115
1.2 定积分的概念 117
1.3 求定积分过程中的辩证思维 118
1.4 可积条件 119
1.5 定积分的性质 119
2 计算定积分的一般方法——微积分基本定理 121
2.1 微积分基本定理 122
2.2 定积分的换元积分法和分部积分法 123
3 定积分的拓展——非正常积分 125
4 定积分魅力的显示——在若干学科中的应用 126
4.1 微元法 127
4.2 在几何学中的应用 127
4.3 在物理学中的应用——变力作功 130
阅读材料（1） 数学思想方法简介 130
数学模型方法 130
阅读材料（2） 数学家简介 132
微积分学在中国的最早传播人——李善兰 132
习题六 133
第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步 135
1 研究偶然现象的基本元素——随机事件 136
1.1 随机现象及其描述 136
1.2 事件的关系及运算 137
2 偶然中的必然——概率 139
2.1 概率的定义 139
2.2 条件概率 142
2.3 全概率公式和贝叶斯公式 145
3 随机现象的函数化——随机变量 146
3.1 随机变量的概念 146
3.2 离散型随机变量 147
3.3 连续型随机变量 149
4 随机现象平均特征的描述——期望值 155
4.1 期望值的概念 155
4.2 期望值的性质 157
5 随机现象离散程度的描述——方差 157
5.1 方差的概念 157
5.2 标准差的概念 159
5.3 方差的性质 159
6 收集、整理和分析数据的方法——统计 159
6.1 总体和样本 160
6.2 统计量和统计量的分布 161
7 由部分刻画整体的方法——统计推断 162
7.1 参数估计 162
7.2 假设检验 163
8 建立线性函数的实验方法——一元线性回归分析 164
8.1 一元线性回归方程的建立 165
8.2 回归方程的显著性研究 166
阅读材料（1） 数学思想方法简介 166
观察与实验 166
阅读材料（2） 数学家简介 169
早期研究平均值的科学家——帕斯卡 169
习题七 170
第二篇 选修内容 175
第八章 处理线性关系的数学问题——线性代数概述 175
1 一种特殊数——行列式 176
1.1 行列式的定义 176
1.2 行列式的性质 178
2 线性方程组的解法 181
2.1 克拉默法则 181
2.2 消元法 182
3 应用广泛的数表——矩阵 185
3.1 矩阵的概念 185
3.2 矩阵的运算 185
3.3 矩阵的应用 190
阅读材料（1） 数学思想方法简介 192
数学美学方法 192
阅读材料（2） 数学家简介 195
数学王子——高斯 195
习题八 196
第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说 198
1 微分方程初识——一般概念 199
1.1 例子 199
1.2 一般概念 200
1.3 微分方程及其解的几何解释 201
2 特殊类型微分方程的解法——初等积分法 202
2.1 分离变量法 202
2.2 可化为变量分离方程的方程 204
2.3 一阶线性微分方程 206
3 几个有趣的实例——若干应用模型 208
3.1 单种群模型与人口问题 208
3.2 遗体死亡年代测定问题 210
3.3 刑事侦察中死亡时间的鉴定问题 210
3.4 学习过程模型 211
阅读材料（1） 数学思想方法简介 211
数学推理和数学证明 211
阅读材料（2） 数学家简介 214
数学领域里的一座高耸的金字塔——拉格朗日 214
习题九 215
第十章 一元微积分的推广——二元微积分概要 216
1 二元函数微积分的预备知识 216
1.1 解析几何的思想方法 217
1.2 空间直角坐标系 218
1.3 空间曲面与代数方程 220
1.4 空间曲线与代数方程 221
1.5 用代数方法研究二次曲面 222
2 二元函数的极限与连续性 223
2.1 二元函数的概念 223
2.2 二元函数的极限 225
2.3 二元函数的连续性 226
3 偏导数与全微分 226
3.1 偏导数及其计算 226
3.2 全微分 228
4 复合函数微分法 229
5 二元函数的极值 231
6 二重积分的概念与计算 232
6.1 二重积分的概念与性质 232
6.2 二重积分的计算 234
阅读材料（1） 数学思想方法简介 237
数学与创造 237
阅读材料（2） 数学家简介 239
（一）追求新几何的数学家——笛卡儿 239
（二）自学成才的数学大师——华罗庚 240
习题十 242
附录一 习题参考答案 244
附录二 三个数表 253
（一）标准正态分布函数值表 253
（二）x2分布临界值表 255
（三）相关系数临界值表 257
参考文献 258