第1章 函数、极限与连续 1
1.0 引 例 2
1.1 函 数 2
1.1.1 函数的概念 2
1.1.2 函数的几种重要特性 5
1.1.3 复合函数与反函数 6
1.1.4 映射 8
1.1.5 初等函数与非初等函数 9
习题1-1 10
1.2 极 限 13
1.2.1 极限概念引例 13
1.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限 14
1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限 18
1.2.4 数列的极限 20
1.2.5 无穷小与无穷大 21
习题1-2 23
1.3 极限的性质与运算 24
1.3.1 极限的几个性质 24
1.3.2 极限的四则运算法则 26
1.3.3 函数极限与数列极限的关系 28
1.3.4 夹逼法则 29
1.3.5 复合运算法则 31
习题1-3 33
1.4 单调有界原理和无理数e 34
1.4.1 单调有界原理 34
1.4.2 极限lim(1+1/x)x=e 35
1.4.3 指数函数ex，对数函数Inx，双曲函数 38
习题1-4 39
1.5 无穷小的比较 40
1.5.1 无穷小的阶 40
1.5.2 利用等价无穷小代换求极限 42
习题1-5 43
1.6 函数的连续与间断 44
1.6.1 函数的连续与间断 44
1.6.2 初等函数的连续性 48
习题1-6 52
1.7 闭区间上连续函数的性质 53
1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质 53
1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质 54
1.7.3 函数的一致连续性 57
习题1-7 59
1.8 应用实例 60
复习题一 65
习题参考答案与提示 66
第2章 一元函数微分学及其应用 69
2.0 引例 70
2.1 导数的概念 70
2.1.1 变化率问题举例 70
2.1.2 导数的概念 72
2.1.3 用定义求导数举例 73
2.1.4 导数的几何意义 75
2.1.5 函数可导性与连续性的关系 76
2.1.6 导数概念应用举例 77
习题2-1 78
2.2 求导法则 79
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 80
2.2.2 复合函数的求导法则 81
2.2.3 反函数的求导法则 83
2.2.4 一些特殊的求导法则 84
习题2-2 88
2.3 高阶导数与相关变化率 90
2.3.1 高阶导数 90
2.3.2 相关变化率 94
习题2-3 95
2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近 96
2.4.1 微分的概念 96
2.4.2 微分公式与运算法则 98
2.4.3 微分的几何意义及简单应用 100
习题2-4 102
2.5 利用导数求极限——洛必达法则 103
2.5.1 0/0型未定式的极限 104
2.5.2 ∞/∞型未定式的极限 106
2.5.3 其他类型未定式的极限 106
习题2-5 108
2.6 微分中值定理 109
2.6.1 罗尔定理 109
2.6.2 拉格朗日中值定理 110
2.6.3 柯西中值定理 112
习题2-6 114
2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数 114
2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式 115
2.7.2 常用函数的麦克劳林公式 118
习题2-7 122
2.8 利用导数研究函数的性态 123
2.8.1 函数的单调性 123
2.8.2 函数的极值 125
2.8.3 函数的最大值与最小值 127
2.8.4 函数的凸性与拐点 129
2.8.5 曲线的渐近线，函数作图 131
习题2-8 132
2.9 平面曲线的曲率 134
2.9.1 弧微分 134
2.9.2 曲率和曲率公式 135
习题2-9 138
2.10 应用实例 139
复习题二 143
习题参考答案与提示 145
第3章 一元函数积分学及其应用 149
3.0 引例 150
3.1 定积分的概念、性质、可积准则 150
3.1.1 定积分问题举例 150
3.1.2 定积分的概念 152
3.1.3 定积分的几何意义 153
3.1.4 可积准则 154
3.1.5 定积分的性质 155
习题3-1 158
3.2 微积分基本定理 159
3.2.1 牛顿－莱布尼兹公式 160
3.2.2 原函数存在定理 161
习题3-2 164
3.3 不定积分 165
3.3.1 不定积分的概念及性质 165
3.3.2 基本积分公式 166
3.3.3 积分法则 166
习题3-3 178
3.4 定积分的计算 180
3.4.1 定积分的换元法 180
3.4.2 定积分的分部积分法 183
习题3-4 185
3.5 定积分应用举例 186
3.5.1 总量的可加性与微元法 186
3.5.2 几何应用举例 187
3.5.3 物理、力学应用举例 192
3.5.4 函数的平均值 195
习题3-5 196
3.6 反常积分 197
3.6.1 无穷区间上的反常积分 197
3.6.2 无界函数的反常积分 200
3.6.3 反常积分的收敛判别法 201
习题3-6 204
3.7 应用实例 205
复习题三 208
习题参考答案与提示 209
第4章 微分方程 214
4.0 引例 215
4.1 微分方程的基本概念 215
习题4-1 218
4.2 某些简单微分方程的初等积分法 219
4.2.1 一阶可分离变量方程 219
4.2.2 一阶线性微分方程 220
4.2.3 利用变量代换求解微分方程 223
4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程 226
习题4-2 228
4.3 建立微分方程方法简介 229
习题4-3 234
4.4 高阶线性微分方程 235
4.4.1 线性微分方程通解的结构 235
4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法 237
4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 240
4.4.4 某些变系数线性微分方程的解法 247
习题4-4 250
4.5 应用实例 251
复习题四 255
习题参考答案与提示 256
附录1 几种常见曲线 261
附录2 汉英数学名词对照与索引 263
附录3 希腊字母表 267
参考文献 268