第1章 数学思想方法概述 1
1.1数学思想与数学方法 1
1.1.1数学思想的含义 1
1.1.2数学方法的含义 2
1.1.3数学思想与数学方法的关系 3
1.1.4数学思想方法的特点 4
1.2数学思想方法与数学问题、数学知识的关系 6
1.2.1数学问题 6
1.2.2数学思想方法与数学问题、数学知识的关系 7
1.3中学数学思想方法的研究范畴 8
第2章 数学中的逻辑方法 11
2.1逻辑及其基本规律 11
2.1.1逻辑概述 11
2.1.2逻辑的四项基本规律 12
2.2命题及其关系 13
2.2.1命题运算 13
2.2.2命题的变化 17
2.2.3逆命题的构造 19
2.2.4量词与否命题的构造 19
2.2.5充分条件与必要条件 21
2.3数学推理 24
2.3.1推理概述 25
2.3.2归纳推理 27
2.3.3类比推理 33
2.3.4演绎推理 40
2.4公理化思想 42
2.4.1公理化思想的含义 42
2.4.2欧氏几何的公理体系及其发展 43
2.4.3中学课程中的公理化方法 45
第3章 数学证明方法 50
3.1数学证明概述 51
3.1.1数学证明的含义 51
3.1.2数学证明的结构 51
3.1.3证明与推理的关系 52
3.1.4数学证明的格式 52
3.1.5数学证明的规则 52
3.2直接证法 54
3.2.1分析法与综合法概述 54
3.2.2例题选讲 55
3.3反证法 59
3.3.1反证法的证明过程及特点 59
3.3.2反证法的逻辑原理 60
3.3.3分段式命题与反证法 62
3.3.4同一性命题、同一法与反证法 62
3.3.5例题选讲 64
3.4数学归纳法 71
3.4.1数学归纳法是一种通用的方法 71
3.4.2正确理解数学归纳法原理 73
3.4.3数学归纳法的“变着” 77
3.4.4归纳量的选择 86
3.4.5数学归纳法的推广 87
3.4.6数学归纳法的教学 88
3.5数学证明的缘起与现代发展 93
3.5.1关于数学证明的缘起 93
3.5.2东西方数学证明的差异 95
3.5.3数学的证明与科学的证明 95
3.5.4数学证明的现代发展——机器证明 96
第4章 常用数学解题中的思想与方法 100
4.1数学解题的基本步骤 100
4.1.1“怎样解题”表 101
4.1.2解题步骤 103
4.1.3一个体现解题步骤的综合例子 108
4.2数学解题中的两大思想方法 111
4.2.1引例 111
4.2.2数学解题中的两大思想方法——转化思想和构造方法 114
4.3化归思想 116
4.3.1化归的含义 116
4.3.2实现化归的方法 118
4.4数学构造的思想方法 127
4.4.1数学中的构造思想 127
4.4.2数学解题中的构造法 129
4.5数学模型方法 140
4.5.1构造模型解释数学知识 141
4.5.2构造模型解答数学问题 142
4.6算法化思想 146
4.6.1算法的概念 146
4.6.2算法的描述 148
4.7分解-组合思想 151
4.7.1中国剩余定理与插值问题 152
4.7.2数列求和的一种统一方法 155
第5章 数学思想方法及其教学专题研究 161
5.1高中新课标“推理与证明”教学设想 162
5.1.1“推理与证明”进入高中新课标原因分析 162
5.1.2“推理与证明”教学设想 166
5.2中学数学中的“勾股定理” 180
5.2.1勾股定理的证明 181
5.2.2勾股定理及其逆定理的结合 189
5.2.3与勾股定理相关的问题 193
5.3Fibonacci数列 199
5.3.1Fibonacci数列各种表达式的发现 199
5.3.2斐波那契数列教学讨论 209
5.4多面体欧拉公式 216
5.4.1欧拉公式的发现 216
5.4.2欧拉公式的证明 219
5.4.3欧拉公式的等价命题 222
5.4.4欧拉公式的运用与推广 225
5.5重要不等式 230
5.5.1排序不等式 230
5.5.2均值不等式 235
5.5.3柯西不等式 243
参考文献 250