第1章 行列式 1
1.1 行列式引出 1
1.1.1 二元一次方程组与二阶行列式 1
1.1.2 三元一次方程组与三阶行列式 2
1.1.3 n元线性方程组与n阶行列式 3
1.2 二阶行列式 5
1.3 三阶行列式 6
1.3.1 定义 6
1.3.2 余子式及代数余子式 6
1.3.3 三阶行列式计算 7
1.3.4 三阶行列式的性质 9
1.4 n阶行列式 12
1.4.1 定义 12
1.4.2 行列式的计算 13
1.5 n元线性方程组 16
1.5.1 非齐次线性方程组 16
1.5.2 齐次线性方程组 17
1.5.3 用克莱姆法则求解线性方程组 17
1.5.4 范德蒙行列式 21
第1章习题 24
第2章 矩阵 28
2.1 引例 28
2.2 矩阵与矩阵的初等变换 31
2.2.1 矩阵的定义 31
2.2.2 矩阵的初等变换 31
2.2.3 用矩阵的初等行变换求解线性方程组 32
2.3 矩阵的运算 38
2.3.1 矩阵相等 38
2.3.2 几种特殊矩阵 39
2.3.3 矩阵的加法 40
2.3.4 矩阵的减法 40
2.3.5 数与矩阵相乘 41
2.3.6 矩阵的乘法 42
2.3.7 矩阵的转置 44
2.4 逆矩阵 45
2.4.1 方阵的行列式 45
2.4.2 可逆矩阵和逆矩阵的概念 46
2.4.3 可逆矩阵的判别及求可逆矩阵的逆矩阵的方法 46
2.5 分块矩阵 51
2.5.1 分块矩阵定义 51
2.5.2 分块对角矩阵 52
2.5.3 分块对角矩阵的性质 52
2.6 初等矩阵 53
2.6.1 初等矩阵的概念 53
2.6.2 利用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 55
2.7 矩阵代数中一些常见问题及例题 56
第2章习题 63
第3章 线性方程组的解和n维向量 67
3.1 矩阵的秩 67
3.1.1 矩阵的k阶子式 67
3.1.2 矩阵的秩 68
3.1.3 用矩阵的初等行变换求矩阵的秩 69
3.2 线性方程组解的讨论 71
3.2.1 齐次线性方程组解的讨论 71
3.2.2 非齐次线性方程组解的讨论 73
3.3 n维向量 75
3.3.1 n维向量的概念 75
3.3.2 n维向量的运算 76
3.4 向量组的线性相关性 77
3.4.1 矩阵和向量组之间的关系 77
3.4.2 线性组合 77
3.4.3 向量组的线性相关性 80
3.4.4 归纳向量组的线性相关性 83
3.5 向量组的秩 85
3.5.1 向量组的最大无关组和秩的定义 85
3.5.2 向量组的最大无关组和秩的求法 86
3.5.3 向量组秩之间的关系 87
3.6 线性方程组 90
3.6.1 齐次线性方程组的基础解系 90
3.6.2 非齐次线性方程组的通解 96
第3章习题 98
第4章 特征值、特征向量与二次型 101
4.1 问题提出 101
4.2 预备知识 106
4.2.1 内积 106
4.2.2 正交向量组 107
4.2.3 施密特正交化 108
4.2.4 正交矩阵 110
4.3 方阵的特征值与特征向量 111
4.3.1 方阵的特征值与特征向量的定义 111
4.3.2 方阵的特征值及特征向量的性质 115
4.4 相似矩阵与方阵的对角化 116
4.4.1 相似矩阵 117
4.4.2 方阵的对角化 118
4.5 对称矩阵的对角化 120
4.5.1 引例 120
4.5.2 对称矩阵的对角化 122
4.6 二次型及正定二次型 127
4.6.1 二次型及其矩阵表示 127
4.6.2 化二次型为标准型 129
4.6.3 正定二次型 135
第4章习题 137
第5章 应用问题 141
5.1 投入产出法 141
5.1.1 引例 142
5.1.2 投入产出表 144
5.1.3 建立平衡方程组 145
5.1.4 介绍常见的一些题目 147
5.2 密码问题 152
第5章习题 157
第6章 用MATLAB解线性代数中的有关问题6.1 MATLAB的基本操作 161
6.2 矩阵的输入 162
6.3 矩阵的基本运算 164
6.4 矩阵的基本函数 165
6.5 应用举例 166
第6章习题 172
第7章 线性空间与线性变换 174
7.1 线性空间的概念 174
7.1.1 代数系统的一般概念 174
7.1.2 线性空间的定义 175
7.2 基与坐标 177
7.3 线性变换 184
7.4 线性变换的矩阵表示法 185
7.5 线性变换的典型例题 192
第7章习题 197
习题答案 199
参考文献 213