第1章 空间与形式 1
1抽象向量空间 1
1.论据与公理系统 1
2.线性包络，子空间 3
3.关于几何解释的说明 5
习题 6
2维数与基底 7
1.线性相关性 7
2.向量空间的维数与它的基底 8
3.坐标，空间的同构 10
4.子空间的交集与和 13
5.直和 15
6.商空间 18
习题 19
3对偶空间 20
1.线性函数 20
2.对偶空间与对偶基底 21
3.自反性 23
4.线性无关性的判别法 24
5.齐次线性方程组解的几何解释 25
习题 26
4双线性型和二次型 26
1.多重线性映射 26
2.双线性型 28
3.双线性型的矩阵的转换规则 28
4.对称型与斜对称型 29
5.二次型 30
6.二次型的规范型 32
7.实二次型 34
8.正定型与正定矩阵 35
9.斜对称二次型的规范型 38
10.普法夫型 41
习题 42
第2章 线性算子 44
1 向量空间的线性映射 44
1.线性映射语言 44
2.用矩阵给定线性映射 45
3.核与像的维数 47
习题 48
2线性算子代数 48
1.定义与例子 48
2.算子代数 49
3.线性算子在不同基底之下的矩阵 52
4.线性算子的行列式与迹 54
习题 56
3不变子空间与特征向量 57
1.投影 57
2.不变子空间 58
3.特征向量，特征多项式 60
4.可对角化的判别准则 62
5.不变子空间的存在性 64
6.共轭线性算子 64
7.商算子 66
习题 67
4若尔当标准型 68
1.哈密顿-凯莱定理 68
2.若尔当标准型：定理与推论 71
3.根子空间 71
4.幂零算子的情形 74
5.唯一性 75
6.化若尔当标准型的其他方法 78
7.其他的标准型 80
习题 81
第3章 带有纯量乘积的向量空间 84
1欧几里得向量空间 84
1.直观理解与定义 84
2.基本的度量概念 86
3.正交化过程 88
4.欧几里得向量空间的同构 90
5.标准正交基底与正交矩阵 92
6.辛空间 93
习题 96
2埃尔米特向量空间 97
1.埃尔米特型 97
2.度量关系 98
3.正交性 100
4.酉矩阵 101
5.可赋范的向量空间 102
习题 104
3 带有纯量乘积的空间上的线性算子 105
1.线性算子与θ线性型之间的关系 105
2.线性算子的类型 106
3.埃尔米特算子的规范形式 109
4.把二次型化到主轴上去 111
5.把两个二次型同时化为规范型 112
6.保距算子的规范形式 113
7.正规算子 116
8.正定算子 119
9.极化分解 121
习题 122
4 复化与实化 123
1.复结构 123
2.实化 125
3.复化 127
4.复化—实化—复化 129
习题 131
5 正交多项式 131
1.逼近问题 131
2.最小二乘法 132
3.线性方程组与最小二乘法 134
4.三角多项式 136
5.关于自共轭算子的说明 137
6.勒让德多项式（球面多项式） 139
7.加权正交 143
8.（第一类）切比雪夫多项式 143
9.埃尔米特多项式 144
习题 145
第4章 仿射空间与欧几里得点空间 147
1 仿射空间 147
1.仿射空间的定义 147
2.同构 149
3.坐标 149
4.仿射子空间 151
5.重心坐标 153
6.仿射线性函数与线性方程组 156
7.平面位置关系 158
习题 159
2 欧几里得（点）空间 160
1.欧几里得度量 160
2.点到平面的距离 161
3.平面间的距离 163
4.格拉姆行列式与平行六面体的体积 163
习题 165
3 群与几何 165
1.仿射群 165
2.欧几里得空间的运动 168
3.保距变换群 170
4.与群对应的线性几何 173
5.欧几里得空间的仿射变换 175
6.凸集 176
习题 179
4 带有指数有限度量的空间 179
1.指数有限度量 179
2.伪欧几里得运动 180
3.洛伦茨群 180
4.真洛伦茨群 182
习题 185
第5章 二次曲面 187
1二次函数 187
1.仿射空间上的二次函数 187
2.二次函数的中心点 188
3.把二次函数化成规范型 190
4.欧几里得空间上的二次函数 191
习题 194
2仿射空间与欧几里得空间中的二次曲面 194
1.二次曲面的一般概念 194
2.二次曲面的中心 196
3.仿射空间中的二次曲面的规范型（典范型） 197
4.二次曲面的类型 199
5.欧几里得空间中的二次曲面 201
习题 204
3射影空间 205
1.射影平面的模型 205
2.任意维的射影空间 207
3.齐次坐标 208
4.仿射图 209
5.代数（流形）簇的概念 210
6.射影群 212
7.射影几何 214
8.重比（交比） 216
9.重比的坐标表达式 218
习题 220
4 射影空间的二次曲面 221
1.分类 221
2.射影二次曲面的例子与表现 222
3.直线与射影二次曲面的交 224
4.关于射影二次曲面的一般说明 224
习题 225
第6章 张量 226
1 张量计算初步 226
1.张量的概念 226
2.张量的乘积 227
3.张量的坐标 229
4.在不同坐标系中的张量 231
5.空间的张量积 233
习题 236
2张量的卷积，对称化与交错化 237
1.张量的卷积 237
2.结构张量代数 239
3.对称张量 242
4.斜对称张量 245
5.张量空间 247
习题 249
3外代数 249
1.外积 249
2.向量空间的外代数 250
3.与行列式的联系 254
4.向量子空间与p向量 255
5.p向量可分解条件 257
习题 259
第7章 附录 261
1 线性算子的范数与函数 261
1.线性算子的范数 261
2.线性算子（矩阵）的函数 264
3.指数函数 265
4.线性群的单参数子群 268
5.谱半径 271
习题 273
2线性微分方程 274
1.指数函数的导数 274
2.微分方程 275
3.n阶线性微分方程 275
3 凸多面体与线性规划 277
1.问题的提出 277
2.论据 277
3.基本的几何概念 279
习题 281
4 非负矩阵 281
1.生产上的论据 281
2.非负矩阵的性质 282
3.随机矩阵 283
5罗巴切夫斯基几何 287
1.罗巴切夫斯基空间 287
2.罗巴切夫斯基空间的运动 289
3.罗巴切夫斯基度量 290
4.罗巴切夫斯基平面 293
6有待解决的问题 298
1.施特拉辛问题 298
2.正交分解 298
3.有限射影平面 299
4.空间的基底与拉丁方 300
习题解答与提示 302
教法说明 317
索引 320