第1章 绪论 1
1.1 误差与运算误差分析 1
1.1.1 数值计算中误差的不可避免性 1
1.1.2 绝对误差与相对误差 2
1.1.3 有效数字 4
1.1.4 运算误差分析 7
1.2 关于算法 12
1.2.1 算法的基本概念 12
1.2.2 数值型算法的特点 13
1.2.3 算法设计基本方法 15
1.2.4 算法的复杂度 27
1.2.5 数值型算法的稳定性 31
1.3 习题 35
第2章 矩阵与线性方程组 37
2.1 一般线性方程组的直接解法 37
2.1.1 高斯消去法 38
2.1.2 选主元 40
2.1.3 高斯-约当消去法 48
2.2 带型方程组 54
2.2.1 三对角方程组 54
2.2.2 一般带型方程组 58
2.3 线性方程组的迭代解法 65
2.3.1 简单迭代法 65
2.3.2 高斯-赛德尔迭代法 68
2.3.3 松弛法 71
2.4 共轭梯度法 71
2.4.1 几个基本概念 72
2.4.2 共轭梯度法 73
2.5 矩阵分解 80
2.5.1 矩阵的三角分解 80
2.5.2 矩阵的QR分解 86
2.6 矩阵求逆 94
2.6.1 原地工作的矩阵求逆 95
2.6.2 全选主元矩阵求逆 99
2.7 托伯利兹系统 107
2.7.1 托伯利兹矩阵求逆的快速算法 107
2.7.2 求解托伯利兹型线性方程组的递推算法 115
2.8 习题 120
第3章 矩阵特征值 123
3.1 计算绝对值最大的特征值的乘幂法 123
3.2 求对称矩阵特征值的雅可比方法 126
3.3 QR方法求一般实矩阵的全部特征值 138
3.3.1 QR方法的基本思想 138
3.3.2 化一般实矩阵为上H矩阵 139
3.3.3 双重步QR方法求矩阵特征值 142
3.4 习题 151
第4章 非线性方程与方程组 152
4.1 方程求根的基本思想 152
4.1.1 方程求根的基本过程 152
4.1.2 对分法求方程的实根 154
4.1.3 简单迭代法 157
4.2 埃特金迭代法 161
4.3 牛顿迭代法与插值法 164
4.3.1 牛顿迭代法 164
4.3.2 插值法 169
4.4 控制迭代过程结束的条件 172
4.5 QR方法求多项式方程的全部根 174
4.6 非线性方程组的求解 176
4.6.1 牛顿法 177
4.6.2 拟牛顿法 179
4.7 习题 184
第5章 代数插值法 186
5.1 插值的基本概念 186
5.2 拉格朗日插值法 188
5.2.1 拉格朗日插值多项式的构造 188
5.2.2 插值多项式的余项 197
5.2.3 插值的逼近性质 199
5.3 埃特金逐步插值法 200
5.4 牛顿插值法 208
5.4.1 差商及其牛顿插值公式 208
5.4.2 差分与等距结点插值公式 212
5.5 埃尔米特插值法 215
5.6 样条插值法 219
5.6.1 样条函数 219
5.6.2 三次样条插值函数的构造 219
5.7 习题 240
第6章 函数逼近与拟合 243
6.1 正交多项式 243
6.1.1 正交多项式的构造 244
6.1.2 切比雪夫多项式 246
6.1.3 勒让德多项式 252
6.1.4 其他常用的多项式 253
6.2 最佳一致逼近多项式 255
6.2.1 一致逼近的基本概念 255
6.2.2 最佳一致逼近多项式 256
6.2.3 里米兹算法 259
6.3 最佳均方逼近多项式 264
6.3.1 均方逼近的基本概念 264
6.3.2 最佳均方逼近多项式 264
6.4 最小二乘曲线拟合 266
6.4.1 最小二乘曲线拟合的基本概念 266
6.4.2 用正交多项式作最小二乘曲线拟合 271
6.5 习题 276
第7章 数值积分与数值微分 278
7.1 插值求积公式 278
7.2 变步长求积法 282
7.2.1 变步长梯形求积法 282
7.2.2 变步长辛卜生求积法 285
7.3 龙贝格求积法 288
7.4 高斯求积法 292
7.4.1 代数精度的概念 292
7.4.2 什么是高斯求积法 293
7.4.3 几种常用的高斯求积公式 296
7.5 高振荡函数的求积法 302
7.6 数值微分 310
7.7 习题 311
第8章 常微分方程数值解 313
8.1 常微分方程数值解的基本思想 313
8.2 欧拉方法 316
8.2.1 基本公式 316
8.2.2 误差分析 318
8.2.3 步长的自动选择 319
8.2.4 改进的欧拉公式 320
8.3 龙格-库塔法 321
8.4 一阶微分方程组与高阶微分方程 324
8.4.1 一阶微分方程组 324
8.4.2 高阶微分方程 336
8.5 线性多步法 337
8.5.1 阿当姆斯方法 338
8.5.2 哈明方法 344
8.6 常微分方程数值解法的相容性、收敛性与稳定性 351
8.7 习题 353
第9章 连分式及其新计算法 355
9.1 连分式 355
9.1.1 连分式的基本概念 355
9.1.2 连分式的主要性质 358
9.2 函数连分式 361
9.2.1 函数连分式的基本概念 361
9.2.2 函数连分式的主要性质 362
9.2.3 函数连分式的计算 363
9.3 变换级数为连分式 365
9.4 连分式插值法 367
9.4.1 连分式插值的基本概念 367
9.4.2 连分式插值函数的构造 367
9.4.3 连分式逐步插值 373
9.5 方程求根的连分式解法 374
9.6 一维积分的连分式解法 378
9.7 常微分方程初值问题的连分式解法 383
9.8 习题 392
附录 各章习题部分参考答案 394
参考文献 400