第一章 动力学方程的降阶方法 1
1.1 循环积分和广义能量积分 1
1.1.1 运动方程的第一积分 1
1.1.2 完整系统的循环积分 2
1.1.3 完整系统的广义能量积分 3
1.1.4 非完整系统的循环积分 5
1.1.5 非完整系统的广义能量积分 7
1.2 完整系统的Routh方程和Whittaker方程 10
1.2.1 利用循环积分的Routh方程 10
1.2.2 利用能量积分的Whittaker方程 12
1.3 非完整系统方程的降阶方法 14
1.3.1 利用循环积分降阶Чаплыгин方程 14
1.3.2 一阶非完整系统的广义Whittaker方程 20
1.3.3 高阶非完整系统的广义Whittaker方程 24
参考文献 27
第二章 Poisson定理及其应用 31
2.1 Poisson括号及其性质 31
2.1.1 Poisson括号的定义及其性质 31
2.1.2 复合Poisson括号及Jacobi恒等式 32
2.2 关于第一积分的Poisson定理 35
2.2.1 Poisson条件 35
2.2.2 Poisson定理及其应用 36
2.3 求非完整力学系统第一积分Poisson方法 39
2.3.1 非完整系统对第一积分的广义Poisson条件 39
2.3.2 由已知的第一积分求另外的第一积分 42
参考文献 47
第三章 正则变换 50
3.1 正则变换及其群性 50
3.1.1 正则变换 50
3.1.2 正则变换的群性 54
3.2 母函数 55
3.2.1 第一类母函数 56
3.2.2 第二类母函数 57
3.2.3 第三类母函数 58
3.2.4 第四类母函数 59
3.3 Mathieu变换和点变换 63
3.3.1 Mathieu变换 63
3.3.2 点变换 63
3.4 无限小正则变换 66
参考文献 68
第四章 Hamilton-Jacobi方法 73
4.1 化零正则变换 73
4.1.1 化零正则变换 73
4.1.2 化零正则变换与Hamilton-Jacobi方程 75
4.2 Hamilton-Jacobi定理 76
4.2.1 Hamilton-Jacobi定理 76
4.2.2 Hamilton-Jacobi定理的应用 79
4.3 Liouville和St？ckel情形 79
4.3.1 St？ckel定理 80
4.3.2 Liouville情形 83
4.4 Hamilton-Jacobi方法对特殊非完整系统的应用 87
4.4.1 带乘子方程的Lagrange化 88
4.4.2 Чаплыгин系统方程的Lagrange化 92
参考文献 97
第五章 场方法 102
5.1 求解常微分方程的场方法 102
5.1.1 场方法 102
5.1.2 应用 105
5.2 完整系统的场方法 107
5.2.1 完整系统运动方程的标准形式 107
5.2.2 场方法的应用 109
5.3 非完整系统的场方法 110
5.3.1 非完整系统Routh方程的标准化和场方法 110
5.3.2 Чаплыгин方程的积分 114
参考文献 121
第六章 Noether定理 126
6.1 变换群 126
6.2 作用量的变分 128
6.2.1 作用量与变换群 128
6.2.2 作用量的变分 130
6.3 作用量与Lagrange方程的关系 132
6.3.1 作用量与Lagrange方程的关系 132
6.3.2 两个不同作用量对应同一方程的条件 133
6.4 对称变换、准对称变换和广义准对称变换 135
6.4.1 对称变换 135
6.4.2 准对称变换 136
6.4.3 广义准对称变换 138
6.4.4 算例 139
6.5 Noether定理及其逆定理 140
6.5.1 Noether定理 140
6.5.2 Noether逆定理 142
6.6 力学中基本守恒定律的推导 145
6.6.1 能量守恒定律 145
6.6.2 广义动量守恒定律 146
6.7 Noether定理的推广形式 147
6.7.1 广义Noether定理 147
6.7.2 广义Noether逆定理 150
参考文献 156
第七章 力学系统的积分不变量 162
7.1 Poincaré一阶线性相对积分不变量 163
7.1.1 存在Poincaré线性积分不变量的充分条件 163
7.1.2 存在Poincaré线性积分不变量的必要条件 166
7.2 高阶积分不变量 167
7.2.1 高阶积分不变量 167
7.2.2 Liouville定理 169
7.3 正则变换与积分不变量 174
7.3.1 Poincaré定理 174
7.3.2 算例 176
7.4 关于积分不变量的惟一性定理 177
7.5 Poincaré-Cartan积分不变量 180
7.6 没有积分不变量的动力学方程 182
参考文献 184
第八章 Birkhoff系统的积分理论 189
8.1 Birkhoff方程的变换理论 189
8.1.1 Hamilton方程的变换理论 189
8.1.2 Birkhoff方程的变换理论 193
8.1.3 广义正则变换 195
8.1.4 算例 197
8.2 广义Hamilton-Jacobi方法 199
8.2.1 化零广义正则变换 200
8.2.2 广义Hamilton-Jacobi方程 201
8.2.3 算例 202
8.3 Birkhoff系统的Noether理论 204
8.3.1 基本定义与判据 204
8.3.2 广义Killing方程 209
8.3.3 Birkhoff系统的Noether定理 213
8.3.4 Birkhoff系统的Noether逆定理 217
8.4 积分Birkhoff方程的场方法 222
8.4.1 积分运动方程的场方法 222
8.4.2 积分Birkhoff方程的场方法 222
8.4.3 算例 224
8.5 Birkhoff系统的Poisson理论 227
8.5.1 Birkhoff系统的广义Poisson括号 227
8.5.2 第一积分的广义Poisson条件 229
8.5.3 Birkhoff系统的广义Poisson定理 230
8.5.4 算例 233
参考文献 236