第一篇 预备知识 1
引言 1
第1章 集合论 3
1.0 内容提要 3
1.1 本章学习要求 3
1.2 集合 4
1.2.1 集合的表示 5
1.2.2 集合与元素的关系 6
1.2.3 集合与集合的关系 7
1.2.4 几个特殊的集合 8
1.2.5 集合的运算 10
1.2.6 集合的难点 13
1.3 无限集 13
1.3.1 可数集合和不可数集合 13
1.3.2 无限集的难点 16
1.4 集合的应用 16
1.5 本章总结 18
1.6 习题 19
第2章 计数问题 23
2.0 内容提要 23
2.1 本章学习要求 23
2.2 基本原理 24
2.2.1 乘法原理 24
2.2.2 加法原理 25
2.2.3 基本原理的难点 26
2.3 排列与组合 27
2.3.1 排列问题 27
2.3.2 组合问题 29
2.3.3 排列与组合的难点 30
2.4 容斥原理与鸽笼原理 31
2.4.1 容斥原理 31
2.4.2 鸽笼原理 34
2.4.3 容斥原理与鸽笼原理的难点 34
2.5 离散概率简介 35
2.5.1 基本概念 35
2.5.2 离散概率函数 36
2.5.3 离散概率简介的难点 39
2.6 递归关系 39
2.6.1 递归关系 39
2.6.2 递归关系的难点 40
2.7 计数问题的应用 41
2.8 本章总结 43
2.9 习题 44
第二篇 数理逻辑 47
引言 47
第3章 命题逻辑 49
3.0 内容提要 49
3.1 本章学习要求 49
3.2 命题与命题联结词 50
3.2.1 命题 50
3.2.2 命题联结词 51
3.2.3 联结词理解难点 56
3.2.4 命题联结词的应用 57
3.3 命题公式、解释与真值表 58
3.3.1 命题公式 59
3.3.2 命题公式的解释与真值表 61
3.3.3 命题公式的分类 64
3.3.4 命题公式的基本等价关系 66
3.3.5 命题公式的难点 69
3.3.6 命题公式的应用 70
3.4 联结词的完备集 73
3.4.1 命题联结词的个数 73
3.4.2 联结词的完备集 74
3.4.3 联结词的完备集的应用 75
3.5 公式的标准型——范式 77
3.5.1 析取范式和合取范式 77
3.5.2 主析取范式和主合取范式 79
3.5.3 范式的难点 86
3.5.4 范式的应用 86
3.6 本章总结 88
3.7 习题 89
第4章 谓词逻辑 92
4.0 内容提要 93
4.1 本章学习要求 93
4.2 谓词逻辑中的基本概念与表示 93
4.2.1 谓词 94
4.2.2 量词 96
4.2.3 谓词的语言翻译 99
4.2.4 谓词翻译难点 100
4.2.5 谓词翻译的应用 100
4.3 谓词合式公式与解释 101
4.3.1 谓词的合式公式 102
4.3.2 自由变元和约束变元 103
4.3.3 谓词合式公式的解释 105
4.3.4 谓词合式公式的分类 106
4.3.5 谓词合式公式的基本等价关系 108
4.3.6 谓词合式公式难点 110
4.3.7 谓词合式公式的应用 110
4.4 公式的标准型——范式 111
4.4.1 前束范式 111
4.4.2 Skolem标准型 112
4.4.3 范式的难点 113
4.5 本章总结 113
4.6 习题 115
第5章 推理与证明技术 118
5.0 内容提要 118
5.1 本章学习要求 118
5.2 命题逻辑的推理理论 118
5.2.1 推理的基本概念和推理形式 119
5.2.2 判断有效结论的常用方法 120
5.2.3 命题逻辑推理的难点 126
5.2.4 命题逻辑推理的应用 127
5.3 谓词逻辑的推理理论 129
5.3.1 谓词演算的演绎与推理 129
5.3.2 谓词演算的综合推理方法 131
5.3.3 谓词逻辑推理的难点 135
5.3.4 谓词逻辑推理的应用 135
5.4 数学归纳法 140
5.4.1 数学归纳法原理 140
5.4.2 数学归纳法应用 142
5.5 按定义证明方法 143
5.5.1 按定义证明方法原理 143
5.5.2 按定义证明方法应用实例 144
5.6 本章总结 145
5.7 习题 146
第三篇 二元关系 149
引言 149
第6章 二元关系 151
6.0 内容提要 151
6.1 本章学习要求 151
6.2 二元关系 152
6.2.1 序偶和笛卡儿积 152
6.2.2 关系的定义 155
6.2.3 关系的表示法 157
6.2.4 二元关系的难点 161
6.2.5 关系的应用 161
6.3 关系的运算 163
6.3.1 关系的复合运算 164
6.3.2 关系的逆运算 167
6.3.3 关系的幂运算 170
6.3.4 关系运算的难点 172
6.3.5 关系运算的应用 172
6.4 关系的性质 173
6.4.1 关系性质的定义 173
6.4.2 关系性质的判定定理 181
6.4.3 关系性质的保守性 182
6.4.4 关系性质的难点 183
6.4.5 关系性质的应用 183
6.5 关系的闭包运算 184
6.5.1 关系的闭包 184
6.5.2 关系闭包的难点 188
6.5.3 关系闭包的应用 188
6.6 本章总结 189
6.7 习题 190
第7章 特殊关系 194
7.0 内容提要 194
7.1 本章学习要求 194
7.2 等价关系 195
7.2.1 等价关系 195
7.2.2 集合的划分 197
7.2.3 等价类与商集 198
7.2.4 等价关系与划分 200
7.2.5 等价关系的难点 203
7.2.6 等价关系的应用 203
7.3 次序关系 204
7.3.1 拟序关系 205
7.3.2 偏序关系 205
7.3.3 全序关系 212
7.3.4 良序关系 213
7.3.5 次序关系的难点 214
7.3.6 次序关系的应用 214
7.4 本章总结 216
7.5 习题 217
第8章 函数 220
8.0 内容提要 220
8.1 本章学习要求 220
8.2 函数 221
8.2.1 函数的定义 221
8.2.2 函数的类型 223
8.2.3 常用函数 226
8.2.4 函数的难点 227
8.2.5 函数的应用 227
8.3 函数的运算 229
8.3.1 函数的复合运算 229
8.3.2 函数的逆运算 231
8.3.3 函数运算的难点 232
8.3.4 函数运算的应用 232
8.4 置换函数 233
8.4.1 基本概念 234
8.4.2 置换函数的难点 234
8.4.3 置换函数的应用 235
8.5 本章总结 235
8.6 习题 236
第四篇 图论 239
引言 239
第9章 图 241
9.0 内容提要 241
9.1 本章学习要求 241
9.2 图的基本概念 242
9.2.1 图的定义 242
9.2.2 图的表示 243
9.2.3 图的操作 245
9.2.4 邻接点与邻接边 245
9.2.5 图的分类 246
9.2.6 子图与补图 248
9.2.7 结点的度数与握手定理 251
9.2.8 图的同构 253
9.2.9 图的难点 254
9.2.10 图的应用 254
9.3 通路、回路与连通性 255
9.3.1 通路与回路 255
9.3.2 无向图的连通性 263
9.3.3 有向图的连通性 264
9.3.4 通路、回路与连通性的难点 266
9.3.5 通路、回路与连通性的应用 267
9.4 本章总结 273
9.5 习题 273
第10章 树 277
10.0 内容提要 277
10.1 本章学习要求 277
10.2 树 278
10.2.1 树的定义与性质 278
10.2.2 生成树 280
10.2.3 最小生成树 283
10.2.4 无向树的难点 285
10.2.5 无向树的应用 285
10.3 根树 285
10.3.1 根树的定义与分类 285
10.3.2 根树的遍历 289
10.3.3 最优树与哈夫曼算法 291
10.3.4 根树的难点 293
10.3.5 根树的应用 294
10.4 本章总结 297
10.5 习题 298
第11章 特殊图 300
11.0 内容提要 300
11.1 本章学习要求 300
11.2 欧拉图 301
11.2.1 欧拉图的引入与定义 301
11.2.2 欧拉图的判定 302
11.2.3 欧拉图的难点 304
11.2.4 欧拉图的应用 305
11.3 哈密顿图 306
11.3.1 哈密顿图的引入与定义 306
11.3.2 哈密顿图的判定 308
11.3.3 哈密顿图的难点 311
11.3.4 哈密顿图的应用 312
11.4 偶图 316
11.4.1 偶图的定义 316
11.4.2 偶图的判定 317
11.4.3 匹配 318
11.4.4 偶图的难点 319
11.4.5 偶图的应用 319
11.5 平面图 321
11.5.1 平面图的定义 321
11.5.2 平面图的简单判定方法——观察法 321
11.5.3 欧拉公式 322
11.5.4 库拉托夫斯基定理 325
11.5.5 对偶图 326
11.5.6 图的着色 327
11.5.7 平面图的难点 330
11.5.8 平面图的应用 330
11.6 本章总结 332
11.7 习题 333
第五篇 代数系统 337
引言 337
第12章 代数系统 339
12.0 内容提要 339
12.1 本章学习要求 339
12.2 代数系统 340
12.2.1 代数运算 340
12.2.2 代数系统与子代数 343
12.2.3 代数系统中的难点 344
12.2.4 代数系统的应用 344
12.3 代数系统的基本运算和性质 345
12.3.1 二元运算律 345
12.3.2 代数系统的性质 350
12.3.3 代数系统性质的难点 358
12.3.4 代数系统性质的应用 358
12.4 同态与同构 359
12.4.1 同态与同构 359
12.4.2 同态的性质 362
12.4.3 同态与同构的难点 363
12.4.4 同态与同构的应用 364
12.5 本章总结 365
12.6 习题 366
第13章 群 369
13.0 内容提要 369
13.1 本章学习要求 369
13.2 半群与含幺半群 370
13.2.1 半群与含幺半群 370
13.2.2 元素的幂 372
13.2.3 循环半群 373
13.2.4 半群与含幺半群的难点 375
13.2.5 半群的应用 375
13.3 群及其性质 376
13.3.1 群的定义及基本性质 378
13.3.2 元素的周期 380
13.3.3 子群 383
13.3.4 群的同态 389
13.3.5 群及子群的难点 391
13.3.6 群的应用 391
13.4 特殊群 393
13.4.1 交换群（阿贝尔群） 393
13.4.2 循环群 394
13.4.3 置换群 397
13.4.4 特殊群的难点 398
13.4.5 特殊群的应用 398
13.5 陪集与拉格朗日定理 400
13.5.1 陪集 400
13.5.2 拉格朗日定理 403
13.5.3 陪集与拉格朗日定理的难点 404
13.5.4 拉格朗日定理的应用 404
13.6 正规子群与商群 405
13.6.1 正规子群（不变子群） 405
13.6.2 商群 407
13.6.3 正规子群与商群的难点 410
13.6.4 商群的应用 410
13.7 本章总结 411
13.8 习题 412
第14章 环与域 415
14.0 内容提要 415
14.1 本章学习要求 415
14.2 环与域 416
14.2.1 环与域的定义 416
14.2.2 环与域的性质 418
14.2.3 环与域的应用 419
14.3 本章总结 420
14.4 习题 421
第15章 格与布尔代数 422
15.0 内容提要 422
15.1 本章学习要求 423
15.2 格 423
15.2.1 偏序格 423
15.2.2 代数格 425
15.2.3 偏序格与代数格的等价性 426
15.2.4 格的性质 428
15.2.5 子格与格同态 429
15.2.6 分配格与模格 432
15.2.7 有界格与有补格 434
15.2.8 格的难点 437
15.2.9 格的应用 438
15.3 布尔代数 438
15.3.1 布尔代数 438
15.3.2 布尔表达式 441
15.3.3 布尔代数的难点 444
15.3.4 布尔代数的应用 445
15.4 本章总结 448
15.5 习题 449
参考文献 451