数学史话1 1
第1章 函数、极限与连续 3
1.1 函数 3
1.1.1 函数的概念与分类 3
1.1.2 函数的几种特性 5
1.1.3 基本初等函数 6
1.1.4 复合函数 10
1.1.5 初等函数 11
练习1.1 12
1.2 极限的概念 12
1.2.1 数列｛xn｝的极限 12
1.2.2 函数y=f（x）的极限 14
练习1.2 17
1.3 极限的运算 18
1.3.1 极限的运算法则 18
1.3.2 两个重要极限 19
1.3.3 无穷小与无穷大 21
练习1.3 23
1.4 函数的连续性 24
1.4.1 基本概念 24
1.4.2 初等函数的连续性 26
1.4.3 函数的间断点 27
1.4.4 闭区间上连续函数的性质 28
练习1.4 30
本章知识结构图 30
数学史话2 31
第2章 一元函数微分学 33
2.1 导数的概念 33
2.1.1 导数的定义 34
2.1.2 导数的几何意义 36
2.1.3 可导与连续的关系 37
练习2.1 38
2.2 初等函数的导数 39
2.2.1 函数的求导法则 39
2.2.2 复合函数的导数 41
2.2.3 导数公式 43
练习2.2 43
2.3 隐函数的导数及高阶导数 44
2.3.1 隐函数的导数 44
2.3.2 取对数求导法 45
2.3.3 高阶导数 46
2.3.4 利用函数型计算器计算函数在点x0处的导数 47
练习2.3 47
2.4 微分及其应用 47
2.4.1 微分的概念 47
2.4.2 微分公式与微分运算法则 48
2.4.3 参数式函数的导数 50
2.4.4 微分在近似计算中的应用 51
练习2.4 52
2.5 中值定理与洛必达法则 53
2.5.1 中值定理 53
2.5.2 洛必达法则 54
练习2.5 56
2.6 函数的单调性 56
2.6.1 函数单调性的判别法 56
2.6.2 函数的极值及其求法 59
练习2.6 62
2.7 函数的最大值与最小值 62
2.7.1 闭区间［a,b］上的连续函数的最值 62
2.7.2 一般区间上的连续函数的最值 63
2.7.3 实际问题中的最值 63
练习2.7 64
2.8 函数图像的描绘 64
2.8.1 曲线的凹凸性及拐点 64
2.8.2 曲线的渐近线 66
2.8.3 描绘函数图像的步骤 67
练习2.8 69
2.9 曲率 69
2.9.1 弧微分 70
2.9.2 曲率及其计算公式 70
练习2.9 75
本章知识结构图 75
数学史话3 76
第3章 一元函数积分学 77
3.1 定积分 77
3.1.1 定积分问题举例——求曲边梯形的面积 77
3.1.2 定积分的定义 78
3.1.3 定积分的几何意义 79
练习3.1 80
3.2 定积分的性质和微积分的基本公式 80
3.2.1 定积分的性质 80
3.2.2 微积分的基本公式 81
练习3.2 83
3.3 不定积分 83
3.3.1 不定积分的概念 83
3.3.2 基本积分表 84
3.3.3 不定积分的性质 85
练习3.3 86
3.4 求不定积分的常用方法 86
3.4.1 直接积分法 87
3.4.2 换元积分法 87
3.4.3 分部积分法 90
3.4.4 积分表及其使用 91
练习3.4 92
3.5 定积分的计算 93
3.5.1 直接应用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 93
3.5.2 定积分的换元积分法 94
3.5.3 定积分的分部积分法 95
3.5.4 利用计算器计算定积分 96
练习3.5 96
3.6 广义积分 97
3.6.1 无穷区间上的广义积分 97
3.6.2 无界函数的广义积分 99
练习3.6 100
3.7 定积分的应用 100
3.7.1 微元法 100
3.7.2 定积分在几何中的应用 101
3.7.3 定积分在物理中的应用 105
3.7.4 求函数的平均值及其应用 107
练习3.7 107
本章知识结构图 108
数学史话4 109
第4章 向量代数与空间解析几何 110
4.1 空间直角坐标系 110
4.1.1 空间点的坐标表示 110
4.1.2 空间两点间的距离 112
练习4.1 112
4.2 空间向量 112
4.2.1 空间向量的基本概念 112
4.2.2 向量的线性运算 113
4.2.3 向量的坐标表示 115
4.2.4 空间向量的数量积与向量积 117
练习4.2 119
4.3 平面与空间直线的方程 119
4.3.1 平面的方程 119
4.3.2 空间直线的方程 122
练习4.3 124
4.4 几种常见曲面与空间曲线的方程 124
4.4.1 几种常见曲面的方程 124
4.4.2 几种常见空间曲线的方程 128
练习4.4 129
本章知识结构图 130
数学史话5 131
第5章 二元函数微积分 132
5.1 二元函数的基本概念 132
5.1.1 二元函数的定义 132
5.1.2 二元函数的极限 135
5.1.3 二元函数的连续性 136
练习5.1 137
5.2 偏导数与全微分 137
5.2.1 偏导数的定义及计算 137
5.2.2 全微分 141
5.2.3 复合函数偏导数的计算 142
练习5.2 144
5.3 极值和最值 144
5.3.1 二元函数的极值 144
5.3.2 最值的求法 145
练习5.3 146
5.4 二重积分 146
5.4.1 二重积分的概念 146
5.4.2 二重积分的性质 148
5.4.3 二重积分的计算 148
5.4.4 二重积分的应用 153
练习5.4 155
本章知识结构图 156
数学史话6 157
第6章 常微分方程 159
6.1 常微分方程的基本概念 159
6.1.1 常微分方程举例 159
6.1.2 基本概念 160
练习6.1 162
6.2 一阶微分方程 162
6.2.1 dy/dx=f（x）型 162
6.2.2 dy/dx=f（x）g（y）型 163
6.2.3 dy/dx+p（x）y=q（x）型 163
练习6.2 166
6.3 二阶常系数线性微分方程 166
6.3.1 二阶常系数线性齐次微分方程 166
6.3.2 二阶常系数线性非齐次微分方程 167
练习6.3 171
6.4 微分方程的应用 172
6.4.1 机械振动中的应用 172
6.4.2 电学电路中的应用 174
6.4.3 力学中的应用 175
本章知识结构图 178
数学史话7 179
第7章 级数 180
7.1 常数项级数 180
7.1.1 常数项级数的概念与性质 180
7.1.2 正项级数和交错级数的敛散性判别法 183
练习7.1 185
7.2 幂级数 186
7.2.1 幂级数的概念 186
7.2.2 幂级数的和函数的性质 188
7.2.3 函数展开成幂级数 189
练习7.2 191
7.3 傅里叶级数 191
7.3.1 傅里叶级数及其收敛性 192
7.3.2 函数展开成傅里叶级数 193
练习7.3 198
本章知识结构图 198
第8章 矩阵与线性方程组 199
8.1 矩阵的概念 199
8.1.1 矩阵的定义 199
8.1.2 特殊的矩阵 200
练习8.1 200
8.2 矩阵的运算 201
8.2.1 矩阵的相等 201
8.2.2 矩阵的加法 201
8.2.3 数乘矩阵 202
8.2.4 矩阵的乘法 203
8.2.5 转置矩阵 205
练习8.2 206
8.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 206
8.3.1 矩阵的初等变换 206
8.3.2 行阶梯形矩阵 206
8.3.3 矩阵的秩 207
8.3.4 矩阵的秩的求法 207
练习8.3 208
8.4 逆矩阵 209
8.4.1 逆矩阵的概念与性质 209
8.4.2 逆矩阵的求法 209
练习8.4 212
8.5 线性方程组的矩阵形式 213
练习8.5 214
8.6 线性方程组的解法 214
8.6.1 齐次线性方程组的解法 214
8.6.2 非齐次线性方程组的解法 215
练习8.6 217
本章知识结构图 218
数学史话8 219
第9章 拉普拉斯变换 220
9.1 拉氏变换的概念 220
9.1.1 拉氏变换的定义 220
9.1.2 三个特殊的函数 221
练习9.1 223
9.2 拉氏变换的性质 223
练习9.2 227
9.3 拉氏逆变换 227
练习9.3 230
9.4 拉氏变换的应用 230
练习9.4 235
本章知识结构图 235
附录A 积分表 236
附录B 初等数学中常用的公式与方法 245
附录C 练习题参考答案 252
参考文献 264