第8章 多元函数微分学及其应用 1
8.1多元函数的基本概念 1
8.1.1点集知识简介 1
8.1.2多元函数的概念 3
8.1.3多元函数的极限 5
8.1.4多元函数的连续性 7
8.2偏导数 9
8.2.1偏导数 9
8.2.2高阶偏导数 12
8.3全微分 16
8.3.1全微分的定义 16
8.3.2函数可微的条件 16
8.3.3全微分在近似计算中的应用 19
8.4多元复合函数的求导法则 21
8.4.1链法则 21
8.4.2一阶全微分形式不变性 25
8.5隐函数的求导法则 27
8.5.1一个方程的情况 27
8.5.2方程组的情形 30
8.6方向导数和梯度 35
8.6.1方向导数 35
8.6.2方向导数的计算 36
8.6.3梯度 37
8.7多元函数微分学的几何应用 40
8.7.1空间曲线的切线和法平面 40
8.7.2曲面的切平面与法线 42
8.8多元函数的极值及其求法 45
8.8.1多元函数的极值及最大值、最小值 45
8.8.2条件极值与拉格朗日乘数法 48
8.9二元函数的泰勒公式 53
8.9.1二元函数的泰勒公式 53
8.9.2极值充分条件的证明 55
第8章总练习题 56
第9章 重积分 59
9.1二重积分的概念与性质 59
9.1.1二重积分的概念 59
9.1.2可积性条件和二重积分的性质 63
9.2二重积分的计算 65
9.2.1应用直角坐标计算二重积分 65
9.2.2应用极坐标计算二重积分 71
9.2.3二重积分的换元法 78
9.3三重积分 81
9.3.1三重积分的概念和性质 81
9.3.2三重积分的计算 83
9.4重积分的应用 95
9.4.1曲面的面积 95
9.4.2物体的重心 97
9.4.3平面薄板的转动惯量 99
第9章总练习题 101
第10章 曲线积分和曲面积分 103
10.1第一型曲线积分 103
10.1.1第一型曲线积分的概念 103
10.1.2第一型曲线积分的计算 105
10.2第二型曲线积分 109
10.2.1第二型曲线积分的概念 109
10.2.2第二型曲线积分的计算 111
10.3格林公式 第二型曲线积分与路径无关的条件 116
10.3.1格林（Green）公式 116
10.3.2曲线积分与路径无关的条件 123
10.4第一型曲面积分 132
10.4.1第一型曲面积分的概念 132
10.4.2第一型曲面积分的计算 132
10.5第二型曲面积分 137
10.5.1第二型曲面积分的概念 137
10.5.2第二型曲面积分的计算 139
10.6高斯公式，通量与散度 144
10.6.1流体通过空间封闭曲面的流出量 144
10.6.2高斯（Gauss）公式 145
10.6.3通量和散度 150
10.7斯托克斯公式，环流量与旋度 151
10.7.1斯托克斯（Stokes）公式 151
10.7.2空间曲线积分与路径无关的条件 154
10.7.3环流量与旋度 155
第10章总练习题 157
第11章 无穷级数 160
11.1数项级数的概念和性质 160
11.1.1无穷级数的概念 160
11.1.2收敛级数的性质 163
11.1.3柯西（Cauchy）收敛准则 166
11.2正项级数 168
11.2.1正项级数的收敛准则 168
11.2.2比较判别法 170
11.2.3比式判别法和根式判别法 172
11.3一般项级数 176
11.3.1交错级数 176
11.3.2绝对收敛和条件收敛 178
11.3.3绝对收敛级数的乘积 180
11.4幂级数 182
11.4.1函数项级数的概念 182
11.4.2幂级数及其收敛半径 183
11.4.3幂级数的运算 186
11.5函数的幂级数展开式 189
11.5.1泰勒（Taylor）级数 190
11.5.2初等函数的幂级数展开式 192
11.5.3近似计算 197
11.5.4欧拉公式 199
11.6傅里叶级数 201
11.6.1三角级数，三角函数系的正交性 202
11.6.2周期为2π的函数的傅里叶级数 203
11.6.3周期为2？的函数的傅里叶级数 207
第11章总练习题 209
第12章 微分方程 211
12.1微分方程的概念 211
12.2一阶微分方程 214
12.2.1可分离变量型微分方程 215
12.2.2齐次型微分方程 217
12.2.3可化为齐次型的微分方程 218
12.2.4一阶线性微分方程 219
12.2.5全微分方程 222
12.3高阶微分方程 226
12.3.1可降阶的微分方程 226
12.3.2线性微分方程解的性质 228
12.3.3二阶常系数线性齐次方程的解 233
12.3.4二阶常系数线性非齐次方程的解 237
12.3.5欧拉（Euler）方程 245
12.4一些简单的常系数线性微分方程组 248
12.4.1消元法 248
12.4.2首次积分 250
12.5微分方程的幂级数解法 253
12.6微分方程的简单应用 256
12.6.1几何问题 256
12.6.2混合问题 259
12.6.3电路问题 260
12.6.4力学问题 262
第12章总练习题 269
第13章 差分方程 274
13.1差分与差分方程的概念 274
13.1.1差分的概念 274
13.1.2差分方程 275
13.2常系数线性差分方程 276
13.2.1线性差分方程解的性质 277
13.2.2常系数线性齐次差分方程的解 277
13.2.3常系数线性非齐次差分方程的解 280
13.3差分方程应用举例 285
下册各章习题部分解答 288