第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1
1.1 基本方程的建立 1
1.2 初始条件与边界条件 11
1.3 定解问题的提法 15
习题一 17
第二章 分离变量法 18
2.1 有界弦的自由振动 18
2.2 有限长杆上的热传导 28
2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 32
2.4 非齐次方程的解法 36
2.5 非齐次边界条件的处理 41
2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 49
习题二 52
第三章 行波法与积分变换法 56
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 56
3.2 三维波动方程的泊松公式 63
3.2.1 三维波动方程的球对称解 63
3.2.2 三维波动方程的泊松公式 64
3.2.3 泊松公式的物理意义 69
3.3 积分变换法举例 72
习题三 81
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 84
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 84
4.2 格林公式 86
4.3 格林函数 92
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 95
4.4.1 半空间的格林函数 95
4.4.2 球域的格林函数 97
习题四 99
第五章 贝塞尔函数 101
5.1 贝塞尔方程的引出 101
5.2 贝塞尔方程的求解 103
5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解 107
5.4 贝塞尔函数的递推公式 109
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 112
5.5.1 贝塞尔函数的零点 112
5.5.2 贝塞尔函数的正交性 115
5.6 贝塞尔函数应用举例 117
5.7 贝塞尔函数的其他类型 122
5.7.1 第三类贝塞尔函数 122
5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数 123
5.7.3 开尔文函数（或称汤姆孙函数） 124
5.8 贝塞尔函数的渐近公式 125
习题五 127
第六章 勒让德多项式 130
6.1 勒让德方程的引出 130
6.2 勒让德方程的求解 132
6.3 勒让德多项式 135
6.4 函数展成勒让德多项式的级数 138
6.4.1 勒让德多项式的正交性 138
6.4.2 函数展成勒让德多项式的级数 140
6.5 连带的勒让德多项式 146
习题六 149
第七章 能量积分法 152
7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式 152
7.2 初值问题解的惟一性与稳定性 158
7.3 初边值问题的能量不等式 160
习题七 162
第八章 变分方法 163
8.1 变分方法的物理背景 163
8.2 变分问题的可解性 165
8.3 吕兹－伽辽金方法 168
习题八 172
第九章 非线性偏微分方程 173
9.1 极小曲面问题 173
9.2 非线性偏微分方程举例 176
9.3 单个守恒律激波 179
9.4 KdV方程孤立子 185
习题九 189
附录A Γ函数的基本知识 191
附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表 196
习题答案 200