第1章 极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 函数的表示 3
1.1.3 函数的性质 4
1.1.4 函数的运算 5
1.1.5 初等函数 5
习题1.1 7
1.2 极限的概念 7
1.2.1 数列的极限 7
1.2.2 函数的极限 9
1.2.3 关于极限的定理 11
1.2.4 无穷小量与无穷大量 11
习题1.2 13
1.3 极限的运算 13
1.3.1 极限运算法则 13
1.3.2 两个重要极限 19
1.3.3 无穷小量的比较 23
习题1.3 25
1.4 函数的连续性 27
1.4.1 函数连续的概念 27
1.4.2 连续函数的运算 28
1.4.3 闭区间上连续函数的性质 30
1.4.4 函数的间断点 31
习题1.4 32
学法指导 33
综合习题一 35
第2章 导数与微分 38
2.1 导数的概念 38
2.1.1 案例分析 38
2.1.2 导数的概念 39
2.1.3 可导与连续 41
2.1.4 常用函数的导数 42
习题2.1 44
2.2 导数的运算 44
2.2.1 导数的四则运算法则 44
2.2.2 反函数求导法则 46
2.2.3 复合函数的求导法则 47
2.2.4 三个常用函数求导方法 49
2.2.5 导数基本公式及求导法则 52
2.2.6 高阶导数 53
习题2.2 56
2.3 函数的微分及应用 57
2.3.1 引例分析 57
2.3.2 微分的概念 58
2.3.3 微分的几何意义 59
2.3.4 微分的运算法则 59
2.3.5 微分的运算 60
2.3.6 微分在近似计算中应用 61
习题2.3 63
学法指导 64
综合习题二 66
第3章 导数的应用 68
3.1 微分中值定理 68
3.1.1 拉格朗日中值定理 68
3.1.2 罗尔中值定理 70
3.1.3 柯西中值定理 71
习题3.1 72
3.2 洛必达法则 72
3.2.1 0/0型或∞/∞型的极限 72
3.2.2 可化为0/0或∞/∞型的0·∞型与∞-∞型的极限 74
3.2.3 1∞型、00型、∞0型的极限 76
习题3.2 78
3.3 函数的单调性与极值 79
3.3.1 函数的单调性 79
3.3.2 函数的极值 81
3.3.3 函数的最值 84
习题3.3 87
3.4 函数图形的凹向与拐点 88
3.4.1 曲线的凹向性 88
3.4.2 曲线的拐点 90
3.4.3 曲线的渐近线 91
3.4.4 描绘函数图形 93
习题3.4 94
3.5 导数在实际问题中的应用 95
3.5.1 导数在经济分析中的应用 95
3.5.2 导数在工程技术中的应用 97
习题3.5 102
学法指导 103
综合习题三 104
第4章 不定积分 107
4.1 不定积分的概念与性质 107
4.1.1 不定积分的概念 107
4.1.2 不定积分的性质 109
4.1.3 基本积分公式 110
习题4.1 112
4.2 不定积分的积分法 112
4.2.1 直接积分法 112
4.2.2 换元积分法 113
4.2.3 分部积分法 119
习题4.2 122
4.3 有理函数的积分 123
4.3.1 有理函数的概念 123
4.3.2 简单有理函数的积分 125
4.3.3 可化为有理函数的积分 127
习题4.3 129
学法指导 130
综合习题四 131
第5章 定积分 134
5.1 定积分的概念与性质 134
5.1.1 实例分析 134
5.1.2 定积分的概念 136
5.1.3 定积分的几何意义 137
5.1.4 定积分的性质 138
习题5.1 140
5.2 定积分的积分法 140
5.2.1 变上限定积分 141
5.2.2 微积分基本公式 143
5.2.3 定积分的积分法 144
习题5.2 148
5.3 定积分的应用 149
5.3.1 定积分应用的微元法 149
5.3.2 定积分求平面图形的面积 150
5.3.3 定积分求立体的体积 153
5.3.4 定积分在物理上的应用 156
5.3.5 定积分在经济中的应用 158
习题5.3 159
5.4 广义积分 160
5.4.1 无穷区间上的广义积分——无穷积分 160
5.4.2 无界函数的广义积分——瑕积分 162
习题5.4 165
学法指导 165
综合习题五 167
第6章 向量与空间解析几何 171
6.1 空间直角坐标系与向量 171
6.1.1 空间直角坐标系 171
6.1.2 向量 173
习题6.1 178
6.2 向量的数量积与向量积 178
6.2.1 两向量的数量积 178
6.2.2 两向量的向量积 181
习题6.2 184
6.3 空间的平面与直线 184
6.3.1 平面方程 184
6.3.2 直线方程 188
6.3.3 直线与平面之间的夹角 192
习题6.3 194
6.4 空间的曲面与曲线 195
6.4.1 曲面方程 195
6.4.2 曲线方程 196
6.4.3 柱面方程 197
6.4.4 旋转曲面方程 198
6.4.5 常见的二次曲面 199
习题6.4 201
学法指导 202
综合习题六 204
第7章 多元函数的微分学 207
7.1 二元函数的极限与连续 207
7.1.1 二元函数的概念 207
7.1.2 二元函数的极限 210
7.1.3 二元函数的连续 211
习题7.1 213
7.2 二元函数偏导数与全微分 213
7.2.1 偏导数 213
7.2.2 全微分 217
习题7.2 220
7.3 复合函数与隐函数的微分法 220
7.3.1 复合函数的微分法 220
7.3.2 隐函数的微分法 224
习题7.3 227
7.4 多元函数的极值 227
7.4.1 多元函数的极值 227
7.4.2 多元函数的最值 230
7.4.3 条件极值 231
习题7.4 233
学法指导 233
综合习题七 235
第8章 多元函数的积分学 238
8.1 二重积分的概念与性质 238
8.1.1 引例分析 238
8.1.2 二重积分的概念 239
8.1.3 二重积分的性质 240
习题8.1 243
8.2 二重积分的计算与应用 243
8.2.1 直角坐标系下计算二重积分 243
8.2.2 极坐标系下计算二重积分 248
8.2.3 二重积分的应用 251
习题8.2 254
8.3 曲线积分的概念与计算 254
8.3.1 第一类曲线积分——对弧长的曲线积分 255
8.3.2 第二类曲线积分——对坐标的曲线积分 258
习题8.3 266
学法指导 266
综合习题八 268
第9章 无穷级数 272
9.1 无穷级数的概念与性质 272
9.1.1 无穷级数的概念 272
9.1.2 无穷级数的性质 275
习题9.1 277
9.2 数项级数的敛散性 277
9.2.1 正项级数及其敛散性 277
9.2.2 任意项级数及其敛散性 282
习题9.2 285
9.3 幂级数及其敛散性 286
9.3.1 函数项级数的概念 286
9.3.2 幂级数及其收敛性 286
习题9.3 292
9.4 函数展开成幂级数 293
9.4.1 泰勒级数 293
9.4.2 函数展开成幂级数 294
习题9.4 299
学法指导 299
综合习题九 301
第10章 常微分方程 304
10.1 微分方程的概念与可分离变量的微分方程 304
10.1.1 微分方程的概念 304
10.1.2 微分方程的解 305
10.1.3 可分离变量的微分方程 306
习题10.1 309
10.2 齐次微分方程 309
10.2.1 齐次微分方程的概念 309
10.2.2 齐次微分方程的解法 310
习题10.2 314
10.3 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 315
10.3.1 一阶线性微分方程 315
10.3.2 可降阶的高阶微分方程 318
习题10.3 323
10.4 二阶常系数线性微分方程 324
10.4.1 二阶常系数线性微分方程的概念 324
10.4.2 二阶常系数线性微分方程解的性质 324
10.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程 325
10.4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 327
习题10.4 330
学法指导 331
综合习题十 333
第11章 数学建模 336
11.1 数学模型与数学建模 336
11.1.1 模型与数学模型 336
11.1.2 数学建模的意义 336
11.1.3 数学建模的一般程序 339
习题11.1（略） 340
11.2 初等数学模型 341
11.2.1 生日相重问题 341
11.2.2 货包运输问题 341
11.2.3 讨价还价中的数学问题 342
11.2.4 架设电力线路问题 343
习题11.2 344
11.3 微分方程模型 345
11.3.1 水瓶保温测试问题 345
11.3.2 油画年代的鉴定 346
11.3.3 人口模型 347
11.3.4 第二宇宙速度 348
习题11.3 350
11.4 数学规划模型 350
11.4.1 运输方案制定与线性规划 350
11.4.2 动态规划和网络问题 353
11.4.3 统筹法和工序安排优化问题 354
习题11.4 355
11.5 随机模型 356
11.5.1 得分问题 356
11.5.2 彩票中的随机模型 357
11.5.3 期望寿命 361
习题11.5 363
学法指导 363
综合习题十一 364
第12章 数学软件Mathematica 365
12.1 Mathematica概述 365
12.1.1 Mathematica简介 365
12.1.2 Mathematica的基本用法 365
12.1.3 数 运算符 函数 变量 表达式 366
12.1.4 Mathematica的代数运算 369
习题12.1 371
12.2 Mathematica在高等数学中的应用 371
12.2.1 求函数的极限 371
12.2.2 求函数的导数与微分 372
12.2.3 求积分 372
12.2.4 解微分方程 373
12.2.5 求偏导数 374
12.2.6 计算二重积分 375
12.2.7 幂级数运算 375
12.2.8 矩阵的运算 376
12.2.9 解线性方程组 378
12.2.10 解线性规划 379
习题12.2 380
12.3 Mathematica输入模板的使用 382
习题12.3 385
12.4 Mathematica作函数图像 386
12.4.1 二维图形的绘制 386
12.4.2 三维图形的绘制 390
习题12.4 392
学法指导 392
综合习题十二 394
附录A 常用函数及其图形 397
附录B 数学常用公式 400
附录C 习题答案与提示 405
参考文献 464