第一章 矩阵理论的基本知识 1
1.1 矩阵与线性变换 1
1.1.1 矩阵与行列式，特征值与特征向量 2
1.1.2 线性变换与矩阵表示，相似性与Jordan正规形式 16
1.2 对称矩阵与Hermite矩阵，酉空间上的线性变换 27
1.2.1 正规变换与正规矩阵 28
1.2.2 Hermite正定与正半定矩阵 35
1.2.3 幂等变换与幂等矩阵 45
参考文献 49
第二章 范数 51
2.1 向量范数 51
2.1.1 定义与例子 51
2.1.2 分析与几何性质 54
2.2 矩阵范数 59
2.2.1 广义矩阵范数 59
2.2.2 矩阵范数 63
2.3 关于向量范数与矩阵范数的进一步结果 72
2.3.1 对偶向量范数 72
2.3.2 绝对向量范数及其导出的矩阵范数 76
2.3.3 广义矩阵范数与矩阵范数的补充 80
参考文献 87
第三章 矩阵函数 88
3.1 简单矩阵的函数 88
3.1.1 定义 88
3.1.2 简单矩阵函数的谱分解及其应用 91
3.2 一般矩阵的函数 95
3.2.1 一般定义与性质 95
3.2.2 一般矩阵函数的谱分解 103
3.2.3 矩阵函数的序列与级数 109
3.3 矩阵函数f（A）：f为解析函数情形 116
3.3.1 矩阵值函数的分析运算与矩阵的预解式 116
3.3.2 矩阵函数的积分形式定义与有关性质 121
3.4 对微分方程的应用 125
3.4.1 一阶常系数常微分方程组解的表达式 125
3.4.2 可观测与可控的定常线性系统 130
参考文献 139
第四章 线性矩阵方程与惯性理论 140
4.1 线性矩阵方程 140
4.1.1 矩阵的张量积 140
4.1.2 矩阵方程的可解条件 144
4.1.3 矩阵方程AX+XB=C 149
4.2 矩阵惯性定理 154
4.2.1 Ляпунов稳定性定理与Stein稳定性定理 155
4.2.2 矩阵惯性定理 159
4.3 Routh-Hurwitz问题与Schur-Cohn问题 167
4.3.1 多项式对的Bezout矩阵与结式矩阵 167
4.3.2 Routh-Hurwitz问题与Schur-Cohn问题：复多项式的情形 174
4.3.3 Routh-Hurwitz问题：实多项式的情形 179
参考文献 190
第五章 矩阵的广义逆 192
5.1 基于Penrose方程的λ-逆 192
5.1.1 基本概念与｛1｝-逆 192
5.1.2 其他λ-逆 199
5.1.3 在求解线性矩阵方程问题中的应用 207
5.2 方阵的谱广义逆 211
5.2.1 Drazin逆 211
5.2.2 群逆与广义左（右）逆 215
5.2.3 矩阵的广义逆正性与单调性 219
参考文献 223
第六章 特征值的定位与扰动 225
6.1 矩阵非奇异性定理与排除定理 225
6.1.1 严格对角占优矩阵与Gerschgorin圆盘定理 225
6.1.2 不可约矩阵的情形 231
6.2 对角占优矩阵的推广及其相应的排除定理 235
6.2.1 Brauer定理与Ostrowski定理 235
6.2.2 Shemesh定理与Brualdi定理 238
6.3 矩阵特征值的扰动 244
6.3.1 特征值的连续性结果与矩阵的谱变化 244
6.3.2 简单矩阵的特征值扰动 248
参考文献 256
第七章 非负矩阵理论 257
7.1 非负不可约矩阵的Perron-Frobenius理论 257
7.1.1 最基本的结果 257
7.1.2 Perron-Frobenius理论的进一步结果 266
7.2 一般非负矩阵的情形 274
7.2.1 一般非负矩阵Perron-Frobenius理论的古典结果 274
7.2.2 Perron-Frobenius定理的进一步推广 278
7.3 随机矩阵与双随机矩阵 286
7.3.1 随机矩阵与有限齐次Markov链 286
7.3.2 双随机矩阵 292
参考文献 298
第八章 M-矩阵 299
8.1 非奇异M-矩阵 299
8.1.1 主子式皆为正实数的实方阵 300
8.1.2 非奇异M-矩阵的若干特性 303
8.1.3 G-函数与非奇异M-矩阵 311
8.2 一般M-矩阵 318
8.2.1 一般M-矩阵的特征 318
8.2.2 带有“性质c”的M-矩阵 325
8.2.3 M-矩阵与有限齐次Markov链 330
8.3 数理经济学中的投入-产出模型分析 335
8.3.1 引言与开式Leontief模型 335
8.3.2 闭式Leontief模型 345
参考文献 350
符号表 352