第一章 绪论 1
1.1 从应用数学及其“二难”处境谈起 1
一、数学按其纯粹性的分布图 1
二、应用数学的“二难”处境 3
1.2 问题解决途径与数学应用全过程谈 6
一、实践中问题解决途径宏观考 6
二、数学应用全过程鸟瞰 8
1.3 关于数学建模一些认识问题 10
一、数学模型与数学建模 10
二、几个有待澄清的认识问题 12
三、数学建模肩负的两大层次任务 14
1.4 一点思想准备 16
一、关于“思考”的思考 16
二、来自“调查研究”的启示 18
第二章 定性分析与定量分析辨 20
2.1 关于定性分析 20
一、定性分析与哲学思辨 20
二、哲学思辨的优缺点辨 21
三、定性分析可以独立解决实际问题 23
2.2 定量分析 24
一、量与量化 24
二、为何需要定量分析 24
三、定量分析依赖建模 26
四、建模中的定性分析 26
2.3 建模中定性分析与定量分析比较关系 27
第三章 模型通论 29
3.1 模型思辨 29
一、模型小议 29
二、数学模型 30
三、模型是漫画不是照相 31
3.2 “模型论”及其“模型”特征简顾 32
一、谈点数理逻辑史 32
二、“模型论”简说 33
三、“模型论”模型一例：非标准分析模型 35
3.3 “模型论”与应用数学模型比较特征 37
第四章 数学模型的实质 39
4.1 数学模型的度量实质 39
一、度量概述 39
二、模型的度量实质与度量类型 42
4.2 数学模型的映射实质 44
4.3 模型的空间转换实质 49
一、空间意识的突破及其类型简述 49
二、系统空间及其特征 52
三、数学空间类型及其相应Rs的特征 54
四、数学模型的空间转换实质及其评述 56
4.4 数学模型与同构原理 58
一、从同构及有关概念谈起 58
二、数学模型的同构原则 59
三、为何同构原则实现难 60
第五章 数学模型非唯一性原理与近似性原理 62
5.1 关于模型的唯一性 62
一、关于客观系统的确定性与唯一性 62
二、关于数学系统的确定性与唯一性问题 63
三、模型对于客观系统总是非唯一的 65
5.2 非唯一的模型及其空间 65
一、几何点及其邻域“势” 65
二、一个客观系统Rs可能的数学模型 66
三、模型的空间Ω及其讨论 68
四、Ω进一步研究的问题 70
5.3 模型的近似性及其原理 71
一、空间门槛与度量悖论 71
二、模型的客观比较标准 73
三、模型优劣判定中的近似原理：满意度与鲁棒性 75
5.4 模型非唯一与近似性原理是建模者的福音 76
一、对于同一Rs可从多个角度建模 76
二、建模者尽可扬己之长去创造 77
三、社会系统建模精确性并非唯一要求 77
5.5 再论优秀模型及其调试过程 78
一、关于优秀模型概念 78
二、适用型优秀模型 78
三、适用型优秀模型的获取 79
第六章 建模与公理化论 81
6.1 数学中公理化史小谈 81
一、有关概念 81
二、第一次数学危机催产了公理化方法 82
三、几何学发展史的公理化道路 83
四、现代数学的公理化特征与公理学 84
6.2 公理的思辨 88
一、公理的哲学本原 88
二、人类生活的一半在公理世界 90
三、无意识公理对思维突破的障碍 91
6.3 科学与实践中的公理化思想 92
一、公理化思想渐成时代特征和方法论 92
二、谈谈辩论中的公理问题 93
三、建模中“技术同构”思想与公理化 94
四、再谈建模公理化与严格性 95
6.4 建模过程中用到的公理类型 95
一、符号约定类公理 95
二、定义类公理及一个附录 96
三、假设、猜测类公理 98
四、法则、定律类公理 99
第七章 数学建模基本过程论 100
7.1 从课题的团队分工谈起 100
一、项目、课题与习题 100
二、课题团队分工特征认识 100
7.2 阶段Ⅰ：系统理解 101
一、注意两大区别 102
二、定量分析中的定性分析容易产生的误区 103
7.3 阶段Ⅱ：模型类型的抉择 104
一、三种问题类型 104
二、一个课题中往往不止一个模型 106
三、根据自己的特长建模 107
7.4 阶段Ⅲ：建模准备与广义公理化 108
7.5 阶段Ⅳ：模型构建 112
一、具体建模基本过程 113
二、建模过程中一些注意事项 115
7.6 建模各阶段纵观图及一例示 116
一、纵观图 116
二、一个安全问题建模例 116
三、市场中一类竞争模型建模例 118
第八章 数学模型的系统学认识 120
8.1 系统学有关知识准备 120
一、关于系统的概念 120
二、数学对偶空间与系统二象论 122
三、完全系统及其客观存在性认识 125
8.2 数学模型的系统学认识 127
一、y=F（x,a）再认识 127
二、建模中参数的体现特征 128
三、同一对象非唯一模型中参数显示出的灵活性及其意义 130
四、建模中关于参数的研讨类型 130
8.3 模型系统的几种表达形式 134
一、结构式型 134
二、约束式型：方程式与隐函数 134
三、动态式型 136
四、其他类型及其讨论 141
第九章 数学模型精确性论 143
9.1 关于精确性概念 143
一、精确性的相对性 143
二、影响精确性的误差种类 145
三、精确性的检验与判定 145
9.2 促进模型精确性的因素分析 148
一、公理化赋予模型的精确性 148
二、“二象”论下的建模精确认识 149
三、模型因简化而“失真”可在参数确定中得到一定的弥补 150
四、社科类模型特有的精确性要求 151
9.3 妨碍模型精确性的因素分析 151
一、来自“优秀模型”条件的要求 151
二、公理化难以“完备”所产生的困难 152
三、模型参数“度量”手段造成的非精确性 153
四、建模映射中多层转换造成的非精确性 153
五、模型结构的选取对精确性的影响 154
第十章 数据科学与建模论 155
10.1 随机性数据及其模型类型：统计学 155
一、随机性数据与统计学 155
二、统计学两个基本原理 156
三、数据集的两类分布及其分析 157
10.2 非随机性数据及其模型类：数据模拟学 160
一、数据模拟 160
二、有限数据集下：模拟 160
三、无穷数据下：逼近 161
10.3 时序数据及其模型类：时序过程分析 163
一、确定型时序数据 164
二、随机型时序数据Ⅰ：时序分析 164
三、随机型时序数据Ⅱ：随机过程论 165
10.4 适时度量数据类：评价与辨识 166
一、评价类问题 166
二、控制类系统模型 168
10.5 二象度量法：一个评价度量方法 169
一、问题的引入 169
二、系统的“二象”层次结构表示及其主要特征 170
三、“二象”的识别与度量 172
四、“二象”树的权重度量 173
五、小结 176
10.6 呼吁“数据科学”的诞生 176
第十一章 数学建模类型论 178
11.1 模型总空间论 178
一、客观系统Rs的模型邻域空间 178
二、Rs的邻域系统及其模型邻域空间 179
三、模型总空间及其基本性质 179
11.2 模型总空间复杂性机理及约简性原理 182
一、有独立创造即有复杂性 182
二、模型的约简性原理 183
三、逼近原理和建模准则 183
11.3 计量模型与数理模型相对性分析及其他 184
一、计量模型与数理模型辩证关系 184
二、数学与哲学——科学研究的“二难两岸”辨 185
11.4 连续模型与离散模型区别与联系实质 187
一、一般函数：连续到离散易，反之则难，原理解释 187
二、动力系统：连续到离散不需条件，反之不然，原理解释 189
三、间断函数模型 190
11.5 关于模型类型的划分 192
一、小序 192
二、数学模型一种分类 192
三、几个特殊类型例 195
第十二章 几个基本模型类及其建模法 200
12.1 几种现代建模基本手段 200
一、计算机与计算方法类 200
二、数据科学、数据社会与数据技术 201
三、统计学 202
12.2 系统学建模法 204
12.3 展式建模法 205
12.4 微分建模法与微分模型类 209
一、微分建模法 209
二、动力系统建模法 210
12.5 L－模型：一类基本而重要的动力系统模型 212
一、一般简介 212
二、L－模型的应用 214
三、L－模型认识：生命曲线论 217
四、L－方程的推广；多元情形 218
12.6 “二象”对偶模型类 220
一、多目标决策问题：复合对偶关系 220
二、二象“均衡”建模法及其应用 221
三、对偶“二象”与权重“二象”模型类 223
四、概率“二象”情形 223
12.7 几个常用初等函数类型简例 224
一、几类基本函数及其图形类型 224
二、图形的一种四则运算：分解作图法 226
三、“实质性隐函数”一类作图法 228
四、关于多项式判根 229