第1章 复习与推广 1
1.1 实数域及其运算律 1
1.2 多元一次方程组 2
1.3 n元向量空间 4
1.3.1 几何向量及其运算 4
1.3.2 n元向量及其运算 7
习题1 10
第2章 初等变换与线性方程组 12
2.1 矩阵及其初等变换 12
2.1.1 矩阵的概念 12
2.1.2 矩阵的初等变换 15
2.2 m×n线性方程组 15
2.2.1 矩阵消元法 16
2.2.2 m×n线性方程组解的情况及其判别准则 21
2.3 方阵的行列式 26
2.3.1 n阶行列式的定义 26
2.3.2 行列式的性质 30
2.4 行列式的计算 35
2.5 克拉默法则 42
2.6 线性方程组的应用 45
附录 双重连加号∑∑与连乘号Ⅱ 48
习题2 50
第3章 矩阵及其运算 55
3.1 矩阵的运算 55
3.1.1 矩阵的加法 55
3.1.2 矩阵的数量乘法 56
3.1.3 矩阵的乘法 57
3.1.4 方阵的幂与矩阵的多项式 62
3.1.5 矩阵的转置与矩阵运算的关系 65
3.1.6 矩阵运算与行列式的关系 65
3.1.7 矩阵的分块运算 67
3.1.8 矩阵乘法引起的矩阵变换 71
3.1.9 二维计算机图形学 75
3.2 几类常用的特殊矩阵 77
3.2.1 初等矩阵 77
3.2.2 上（下）三角矩阵 80
3.2.3 对称矩阵与反对称矩阵 80
3.3 可逆矩阵 81
3.3.1 方阵的逆矩阵 81
3.3.2 求逆矩阵的方法 86
3.3.3 矩阵方程 88
3.3.4 分块求逆法 91
3.3.5 用矩阵加密的密码 94
3.4 矩阵的秩与矩阵的相抵 95
3.4.1 矩阵的秩 95
3.4.2 矩阵秩的计算 96
3.4.3 矩阵的相抵（或等价） 97
3.4.4 矩阵经运算后秩的变化 100
习题3 101
第4章 线性空间与线性方程组 107
4.1 n元向量空间（续） 107
4.1.1 n元向量空间及其子空间 107
4.1.2 向量组的线性组合 108
4.2 向量组的线性相关性 110
4.2.1 线性相关与线性无关 110
4.2.2 数组向量的线性相关性的特殊判别法 112
4.3 向量组的秩 113
4.3.1 向量组的等价 114
4.3.2 极大无关组 115
4.3.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 116
4.3.4 子空间的维数与基 118
4.4 线性方程组（续） 119
4.4.1 线性方程组有解判别定理 119
4.4.2 线性方程组解的结构 121
4.5 线性空间 127
4.5.1 线性空间的概念 128
4.5.2 线性空间的基本性质 129
4.5.3 子空间 130
4.6 线性空间的维数与基、坐标 130
4.6.1 向量组的线性相关与线性无关 131
4.6.2 维数与基 132
4.6.3 坐标、Vn与Pn的同构 134
4.6.4 基变换与坐标变换 137
4.7 列昂惕夫投入产出模型 141
习题4 144
第5章 特征值与特征向量及线性变换 152
5.1 矩阵的相似 152
5.1.1 矩阵相似的概念及其性质 152
5.1.2 矩阵的相似标准形 153
5.2 矩阵的特征值与特征向量 155
5.2.1 特征值与特征向量的概念和计算 155
5.2.2 特征值和特征向量的性质 161
5.3 相似矩阵的最简形式 164
5.3.1 方阵可对角化的条件 164
5.3.2 化方阵为三角矩阵 167
5.4 矩阵的相似标准形的一些应用 170
5.5 线性变换的定义与运算 173
5.5.1 定义、例子及基本性质 173
5.5.2 线性变换的运算 176
5.6 线性变换的矩阵 178
5.6.1 线性变换在一组基下的矩阵表示 178
5.6.2 线性变换在不同基下的矩阵的相似性 183
5.6.3 线性变换的特征值与特征向量 186
5.7 线性微分方程组 189
习题5 192
第6章 实对称矩阵与欧几里得空间 196
6.1 正交单位向量组与正交矩阵 196
6.1.1 Rn中的内积与正交单位向量组 196
6.1.2 正交矩阵 199
6.2 实对称矩阵的对角化 201
6.3 内积与欧氏空间 207
6.3.1 内积 207
6.3.2 向量的长度和向量间的夹角 208
6.3.3 标准正交基 210
习题6 213
第7章 二次型 217
7.1 引言 217
7.2 二次型及其标准形与矩阵的合同 219
7.2.1 二次型及其矩阵表示 219
7.2.2 满秩线性替换与矩阵的合同 221
7.3 化二次型为标准形 223
7.3.1 用正交替换化实二次型为标准形 223
7.3.2 用满秩线性替换化二次型为标准形 228
7.4 二次型的规范形与惯性定理 232
7.5 正定二次型与正定矩阵 234
7.5.1 正定二次型 234
7.5.2 正定矩阵 236
7.5.3 其他类型的实二次型 238
7.5.4 在动力学中的应用 239
习题7 241
习题参考答案与提示 245
参考文献 260