第一章 概率 1
1.Borel的正轨数定理 1
单位区间 1
弱大数律 5
强大数律 8
强大数律与弱大数律的对比 11
长度 11
丢番图逼近的测度理论 13
2.概率测度 17
空间 17
指定概率 18
集类 18
概率测度 22
单位区间上的勒贝格测度 25
序列空间 27
构造σ-域 30
3.存在性和延拓 36
延拓的构造 37
唯一性与π-λ定理 41
单调类 43
单位区间上的勒贝格测度 43
完备性 44
不可测集 45
两个不可能性定理 45
4.可数概率 51
一般公式 51
极限集 52
独立事件 53
子域 57
Borel-Cantelli引理 59
零壹律 62
5.简单随机变量 67
定义 67
随机变量的收敛 70
独立性 71
独立序列的存在性 73
数学期望 76
不等式 80
6.大数定律 85
强大数律 85
弱大数律 86
Bernstein定理 86
第二Borel-Cantelli引理的改进 87
7.赌局 92
赌徒破产问题 92
选择系统 95
博弈策略 98
大胆投注 101
谨慎投注 108
8.马氏链 111
定义 111
高阶转移概率 114
存在性定理 115
常返与非常返 117
常返的另一判别准则 121
平稳分布 124
指数收敛 131
最优停时 133
9.大偏差和重对数律 145
矩母函数 145
大偏差 148
Chernoff定理 151
重对数律 153
第二章 测度 158
10.一般测度 158
集类 158
有关∞的约定 160
测度 160
唯一性 163
11.外测度 165
外测度 165
延拓 166
逼近定理 168
12.欧氏空间中的测度 171
勒贝格测度 171
正则性 174
确定直线上的测度 175
确定Rk中的测度 176
奇特的欧氏集合 179
13.可测函数与可测映照 182
可测映照 182
取值Rk的映照 183
极限与可测性 184
测度变换 185
14.分布函数 187
分布函数 187
指数分布 189
弱收敛 190
类型的收敛 193
极值分布 195
第三章 积分 199
15.积分 199
定义 199
非负函数 201
唯一性 203
16.积分的性质 206
等式与不等式 206
积分号下求极限 208
在集合上求积分 212
变量变换 213
一致可积 215
复函数 218
17.关于勒贝格测度的积分 221
直线上的勒贝格积分 221
黎曼积分 221
微积分基本定理 224
变量变换 224
Rk中的勒贝格积分 225
Stieltjes积分 228
18.乘积测度与Fubini定理 231
乘积空间 231
乘积测度 232
Fubini定理 233
分步积分 236
高阶乘积 238
19.Lp空间 241
定义 241
完备性与可分性 243
共轭空间 243
弱紧性 244
决策论初步 246
L2空间 249
估计问题 251
第四章 随机变量与数学期望 254
20.随机变量与分布 254
随机变量和随机向量 254
子域 255
分布 256
高维分布 259
独立性 261
随机变量序列 265
卷积 266
概率的收敛 268
Glivenko-Cantelli定理 268
21.数学期望 273
作为积分的数学期望 273
数学期望和极限 273
数学期望与分布 274
矩 274
不等式 276
联合积分 277
独立性与数学期望 277
矩母函数 282
22.独立随机变量之和 282
强大数律 282
弱大数律和矩母函数 284
Kolmogorov 0-1律 286
极大不等式 287
随机级数的收敛 289
随机泰勒级数 292
23.Poisson过程 297
指数分布的刻画 297
Poisson过程 297
Poisson逼近 302
Poisson过程的其他特征 303
随机过程 308
24.遍历定理 310
保测变换 311
遍历性 313
旋转的遍历性 316
遍历定理的证明 317
连分式变换 319
丢番图逼近 324
第五章 分布的收敛性 327
25.弱收敛 327
定义 327
模1的均匀分布 328
依分布收敛 329
依概率收敛 330
基本定理 333
Helly定理 336
积分号下求极限 338
26.特征函数 342
定义 342
矩与导数 342
独立性 345
逆转公式与唯一性定理 346
连续性定理 349
Fourier级数 351
27.中心极限定理 357
同分布之和 357
Lindeberg定理与Lyapounov定理 359
相关的变量 363
28.无穷可分分布 371
淡收敛 371
可能的极限 371
极限的刻画 375
29.Rk中的极限定理 378
基本定理 378
特征函数 381
Rk中的正态分布 383
中心极限定理 385
30.矩方法 388
矩问题 388
矩母函数 390
用矩方法证明中心极限定理 391
在抽样理论中的应用 392
在数论中的应用 393
第六章 导数与条件概率 400
31.直线上的导数 400
微积分基本定理 400
积分的求导 402
奇异函数 407
导数的积分 412
有界变差函数 415
32.Radon-Nikodym定理 419
可加集函数 419
Hahn分解 420
绝对连续性与奇异性 421
主要定理 422
33.条件概率 427
离散情形 427
一般情形 429
条件概率的性质 436
难点和奇特性 437
条件概率分布 439
34.条件期望 445
定义 445
条件期望的性质 446
条件分布与期望 449
充分子域 450
极小方差估计 454
35.鞅 458
定义 458
下鞅 462
博弈 463
鞅的函数 465
停时 465
不等式 466
收敛定理 468
应用之一：导数 470
似然比 471
倒鞅 472
应用之二：de Finetti定理 473
贝叶斯估计 475
中心极限定理 475
第七章 随机过程 482
36.Kolmogorov存在性定理 482
随机过程 482
有限维分布族 482
乘积空间 484
Kolmogorov存在性定理 486
RT的不完备性 492
遍历理论（续） 494
Hewitt-Savage定理 496
37.布朗运动 498
定义 498
轨道连续 500
可测过程 503
布朗运动轨道的不规则性 504
强马氏性 508
反射原理 511
Skorohod嵌入定理 513
不变原理 520
38.不可数概率 526
引言 526
定义 526
存在性定理 529
可分性的效用 532
附录 536
习题提示 552
参考文献 581
常用符号 585
索引 587