第○章 预备知识 1
0.1 连加、连乘与数学归纳法 1
一、连加号Σ 1
二、连乘号Π 2
三、数学归纳法 3
习题0.1 4
0.2 映射、变换 4
习题0.2 7
0.3 等价关系、群与域的概念 8
一、等价关系 8
二、代数系统 8
三、群的概念 9
四、域的概念、数域 10
习题0.3 10
0.4 整数的算术 11
一、Z上的带余除法 11
二、最大公因子 12
三、算术基本定理 14
习题0.4 14
第一章 矩阵及其初等变换 15
1.1 矩阵及其运算 15
一、矩阵的概念 15
二、矩阵的线性运算 17
三、矩阵的乘法 20
四、矩阵的转置 27
习题1.1 30
1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换 32
一、Gauss消元法 33
二、矩阵的初等变换 35
三、初等矩阵 40
习题1.2 44
1.3 逆矩阵 45
一、逆矩阵的概念与性质 45
二、用行初等变换求逆矩阵 49
习题1.3 54
1.4 分块矩阵 55
习题1.4 61
复习题一 63
第二章 行列式 66
2.1 n阶行列式的定义 66
习题2.1 71
2.2 行列式的性质与计算 71
一、行列式的性质 71
二、行列式的计算 77
三、方阵乘积的行列式 82
习题2.2 84
2.3 Laplace展开定理 86
习题2.3 90
2.4 分块矩阵的初等变换 91
习题2.4 94
2.5 矩阵的逆与行列式 94
习题2.5 99
2.6 矩阵的秩 100
一、矩阵秩的概念 100
二、矩阵秩的计算 101
三、矩阵秩的性质 104
习题2.6 107
复习题二 108
第三章 n维向量空间 112
3.1 n维向量空间的概念 112
一、n维向量空间的概念 112
二、Fn的子空间 115
习题3.1 118
3.2 向量组的线性相关性 118
一、向量组的线性组合 118
二、向量组的线性相关性 121
习题3.2 129
3.3 向量组的秩与极大无关组 130
一、向量组的秩与极大无关组的概念 130
二、Fn的基、维数与坐标 135
习题3.3 136
3.4 线性方程组解的结构 137
一、齐次线性方程组 137
二、非齐次线性方程组 144
习题 3.4 152
复习题三 154
第四章 多项式 158
4.1 一元多项式 158
一、一元多项式 158
二、多项式的运算 158
三、一元多项式函数 160
习题4.1 161
4.2 带余除法与整除关系 162
一、带余除法 162
二、整除的性质 164
习题4.2 165
4.3 多项式的最大公因式 166
一、多项式的最大公因式 166
二、多项式互素 169
习题4.3 172
4.4 因式分解定理 172
一、不可约多项式 173
二、因式分解定理 174
习题4.4 176
4.5 重因式 177
习题4.5 179
4.6 多项式的根与重根 179
习题4.6 182
4.7 复系数与实系数多项式的因式分解 182
习题4.7 185
4.8 有理系数多项式 185
一、本原多项式 186
二、整系数多项式的有理根 188
三、有理数域上不可约多项式的判别方法 189
习题4.8 191
4.9 多元多项式 191
习题4.9 194
4.10 对称多项式 195
习题4.1 0 198
复习题四 198
第五章 线性空间 201
5.1 线性空间的定义与性质 201
一、线性空间的定义 201
二、线性空间的简单性质 202
习题5.1 203
5.2 线性空间的同构 204
习题5.2 208
5.3 基变换与坐标变换 209
一、过渡矩阵 209
二、坐标变换 211
习题5.3 214
5.4 线性子空间的交与和 215
一、线性子空间的性质 215
二、子空间的交 217
三、子空间的和 218
习题5.4 220
5.5 线性子空间的直和 222
习题5.5 226
复习题五 226
第六章 线性变换 229
6.1 线性映射 229
一、线性映射的概念 229
二、线性映射的性质 230
三、线性映射的矩阵表示 232
四、线性映射的运算 234
习题6.1 235
6.2 线性映射的像与核 237
一、像与核的概念和性质 237
二、线性同构 238
三、核与像的计算 239
四、核与像的维数关系 241
习题6.2 242
6.3 线性变换 243
一、定义与性质 243
二、可逆线性变换 244
三、线性变换的运算与矩阵 245
四、线性变换在不同基下矩阵的关系 248
习题6.3 248
6.4 特征值与特征向量 250
一、方阵与线性变换的特征值 250
二、特征值与特征向量的计算 251
三、Hamilton-Cayley定理 259
习题6.4 260
6.5 相似对角化 261
一、问题的提出 261
二、矩阵的相似 262
三、矩阵的相似对角化 263
习题6.5 272
6.6 不变子空间 273
一、？-不变子空间 273
二、？-子空间分解 275
习题6.6 276
6.7 对偶空间 276
一、对偶空间 276
二、二重对偶 278
习题6.7 279
复习题六 279
第七章 Jordan标准形与λ-矩阵 282
7.1 最小多项式 282
一、最小多项式的概念和性质 282
二、最小多项式的计算 283
习题7.1 287
7.2 Jordan -Chevalley分解 288
一、幂零与半单 288
二、中国剩余定理 289
三、Jordan-Chevalley分解 291
习题7.2 294
7.3 循环不变子空间与Jordan标准形 294
一、循环不变子空间 294
二、幂零线性变换的Jordan标准形 296
三、复线性空间上一般线性变换的Jordan标准形 298
习题7.3 298
7.4 λ-矩阵 299
一、λ-矩阵的定义和性质 299
二、λ-矩阵的相抵标准形 300
三、相抵标准形的惟一性 303
习题7.4 306
7.5 矩阵的相似性判定与有理标准形 306
一、方阵的相似与λ-矩阵的相抵 306
二、矩阵的有理标准形 308
习题7.5 310
7.6 初等因子与Jordan标准形 311
一、初等因子 311
二、初等因子组的计算 312
三、Jordan标准形 314
四、Jordan标准形的应用举例 316
习题7.6 318
复习题七 318
第八章 欧氏空间 320
8.1 内积与欧氏空间 320
一、定义与实例 320
二、Cauchy不等式 322
三、度量矩阵 323
习题8.1 326
8.2 标准正交基 327
一、标准正交基 327
二、Gram-Schmidt过程 328
三、正交矩阵 330
四、欧氏空间上的同构 332
习题8.2 333
8.3 正交变换与正交补 334
一、正交变换 334
二、正交补 337
三、正交投影与最小二乘解 339
习题8.3 341
8.4 实对称矩阵的标准形 342
一、实对称矩阵 342
二、对称变换 343
习题8.4 346
8.5 酉空间简介 347
复习题八 349
第九章 二次型与双线性函数 351
9.1 二次型 351
一、二次型的定义 351
二、可逆线性替换 352
习题9.1 354
9.2 标准形与规范形 354
一、配方法 354
二、规范形及其惟一性 358
习题9.2 361
9.3 正定二次型 362
一、正交线性替换化实二次型为标准形 362
二、正定二次型与正定矩阵 363
三、正定矩阵与欧氏空间的度量矩阵 368
四、负定、半正定、半负定与不定二次型 369
习题9.3 371
9.4 双线性函数 371
一、双线性函数 371
二、非退化双线性函数 373
三、对称与反称双线性函数 374
习题9.4 377
复习题九 377