第一篇 微积分 3
第一章 函数 极限 连续 3
考点与要求 3
1 函 数 3
内容精讲 3
一、函数的概念及表示方法 3
二、函数的性态 3
三、几个与函数相关的概念 4
四、重要公式与结论 5
例题分析 6
一、求函数的定义域及表达式 6
二、函数的特性 8
2 极 限 10
内容精讲 10
一、极限的定义 10
二、数列极限的基本性质 11
三、函数极限的基本性质 11
四、无穷小量与无穷大量 11
五、极限的四则运算法则 12
六、两个重要极限 13
七、极限存在的两个准则 13
八、洛必达（L'Hos pital）法则 13
九、重要公式与结论 14
例题分析 15
一、极限的概念与性质 15
二、求函数的极限 15
三、求数列的极限 23
四、求含参变量的极限 24
五、无穷小量阶的比较 24
六、函数极限的反问题 26
3 函数的连续与间断 27
内容精讲 27
一、连续的定义 27
二、函数的间断点及其分类 28
三、连续函数性质 28
四、重要定理与结论 28
例题分析 29
一、函数的连续性及间断点的分类 29
二、连续函数性质的应用 31
第二章 一元函数微分学 32
考点与要求 32
1 导数与微分 32
内容精讲 32
一、导数的概念 32
二、导数的计算 33
三、微分 35
四、重要公式与结论 35
例题分析 36
一、有关导数的定义及性质 36
二、含有绝对值函数的导数 39
三、导数的几何意义 40
四、变限积分的导数 41
五、利用导数公式及法则求导 42
六、可导条件下求待定的参数 45
七、求函数的高阶导数 45
2 导数的应用 47
内容精讲 47
一、函数的单调性与极值 47
二、曲线的凹凸性与拐点 48
三、曲线的渐近线 48
四、函数图形的描绘 48
五、重要公式与结论 49
例题分析 49
一、求函数的单调区间与极值 49
二、判断曲线的凹凸性与拐点 51
三、求曲线的渐近线 52
四、导数的经济应用 53
3 中值定理及不等式的证明 55
内容精讲 55
一、微分中值定理 55
二、补充公式与结论 56
三、与本章例题有关的其它内容 57
例题分析 57
一、证明存在ξ使f（ξ）＝0 57
二、讨论方程根的个数及范围 58
三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n＝1，2，…） 60
四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））＝0 61
考点与要求 61
五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题 62
六、双介值问题F（ξ，η，…）＝0 63
七、不等式的证明 64
第三章 一元函数积分学 69
考点与要求 69
1 不定积分 69
内容精讲 69
一、不定积分的概念与性质 69
二、基本积分公式 70
三、三个积分方法 70
四、重要公式与结论 71
例题分析 73
一、不定积分的概念和性质 73
二、不定积分的计算 74
2 定积分 83
内容精讲 83
一、定积分的概念与性质 83
二、定积分的几个定理 84
三、定积分的计算方法 85
四、重要公式与结论 85
例题分析 86
一、定积分的概念及性质 86
二、定积分的计算 89
三、有关变限积分的问题 94
四、定积分的证明题 95
3 反常积分 97
内容精讲 97
一、无穷区间的反常积分 97
二、无界函数的反常积分 98
三、几个重要的反常积分 99
例题分析 99
4 定积分的应用 102
内容精讲 102
一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法） 102
二、定积分的几何应用 102
三、定积分的经济应用 103
例题分析 103
一、定积分的几何应用 103
二、定积分的经济应用 105
第四章 多元函数微积分学 107
考点与要求 107
1 多元函数微分学 107
内容精讲 107
一、多元函数的极限与连续 107
二、偏导数与全微分 108
三、复合函数求导法则 109
四、隐函数的求导公式 110
五、多元函数的极值 110
六、重要公式与结论 111
例题分析 112
一、二元函数的极限与连续 112
二、偏导数与全微分的概念 113
三、求复合函数的偏导数与全微分 116
四、求隐函数的偏导数与全微分 121
五、变量替换下表达式的变形 123
六、多元函数微分学的反问题 126
七、多元函数的极值与最值 127
2 二重积分 134
内容精讲 134
一、二重积分的概念与性质 134
二、二重积分的计算 135
三、重要公式与结论 135
例题分析 136
一、二重积分的概念及性质 136
二、二重积分的基本计算 137
三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 140
四、分块函数的二重积分 143
五、交换积分次序及坐标系 144
六、反常二重积分的计算 147
七、与二重积分相关的证明 148
第五章 无穷级数 150
考点与要求 150
1 常数项级数 150
内容精讲 150
一、基本概念和基本性质 150
二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 151
三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 151
四、重要公式与结论 152
例题分析 153
一、正项级数敛散性的判定 153
二、交错级数的敛散性的判定 156
三、任意项级数敛散性的判定 158
四、数项级数敛散性的证明 161
五、利用收敛级数求极限 163
2 幂级数 164
内容精讲 164
例题分析 165
一、求幂级数的收敛半径及收敛域 165
二、求幂级数的和函数 169
三、求数项级数的和 171
四、函数展开为幂级数 173
五、经济中的应用 174
第六章 常微分方程与差分方程 176
考点与要求 176
1 常微分方程 176
内容精讲 176
一、几个基本概念 176
二、常见的一阶微分方程及其解法 177
三、二阶线性微分方程 177
例题分析 179
一、一阶微分方程的求解 179
二、二阶线性微分方程 182
三、可化为微分方程求解的问题 185
四、微分方程的应用 187
2 差分方程 189
内容精讲 189
一、差分的概念 189
二、一阶常系数线性差分方程 189
例题分析 190
第二篇 线性代数 193
第一章 行列式 193
考点与要求 193
内容精讲 193
例题分析 196
一、数字型行列式的计算 196
二、抽象型行列式的计算 203
三、行列式｜ A ｜是否为零的判定 205
四、关于代数余子式求和 206
第二章 矩 阵 208
考点与要求 208
内容精讲 208
1 矩阵的概念及运算 208
一、矩阵的概念 208
二、矩阵的运算 209
三、矩阵的运算规则 209
四、特殊矩阵 210
2 可逆矩阵 211
一、可逆矩阵的概念 211
二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 211
三、逆矩阵的运算性质 211
四、求逆矩阵的方法 211
3 初等变换、初等矩阵 212
一、定义 212
二、初等矩阵与初等变换的性质 212
4 矩阵的秩 213
一、矩阵秩的概念 213
二、矩阵秩的公式 213
5 分块矩阵 214
一、分块矩阵的概念 214
二、分块矩阵的运算 214
例题分析 215
一、矩阵的概念及运算 215
二、特殊方阵的幂 218
三、伴随矩阵的相关问题 221
四、可逆矩阵的相关问题 223
五、初等变换、初等矩阵 226
六、矩阵秩的计算 228
第三章 向 量 232
考点与要求 232
内容精讲 232
1 n维向量的概念与运算 232
2 线性表出、线性相关 232
3 极大线性无关组、秩 234
4 Schmidt正交化、正交矩阵 234
例题分析 235
一、线性相关的判别 235
二、向量的线性表示 236
三、线性相关与线性无关的证明 238
四、秩与极大线性无关组 241
五、正交化、正交矩阵 243
第四章 线性方程组 245
考点与要求 245
内容精讲 245
1 克拉默法则 245
2 齐次线性方程组 246
3 非齐次线性方程组 247
例题分析 248
一、线性方程组的基本概念题 248
二、线性方程组的求解 252
三、基础解系 257
四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A 259
五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 260
六、两个方程组的公共解 262
七、同解方程组 264
八、线性方程组的有关杂题 266
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 269
考点与要求 269
内容精讲 269
1 特征值、特征向量 269
一、定义 269
二、特征值的性质 269
三、求特征值、特征向量的方法 269
2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 270
一、定义 270
二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 270
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 271
3 实对称矩阵的相似对角化 271
一、定义 271
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 271
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 271
例题分析 272
一、特征值，特征向量的求法 272
二、两个矩阵有相同的特征值的证明 276
三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 277
四、矩阵是否相似于对角阵 278
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 281
六、由特征值、特征向量反求A 281
七、矩阵相似及相似标准形 282
八、相似对角阵的应用 287
第六章 二次型 292
考点与要求 292
内容精讲 292
1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 292
一、二次型概念 292
二、二次型的矩阵表示 292
2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 293
一、定义 293
3 正定二次型、正定矩阵 295
一、定义 295
例题分析 295
一、二次型的矩阵表示 295
二、化二次型为标准形、规范形 296
三、合同矩阵、合同二次型 302
四、正定性的判别 305
五、正定二次型的证明 309
六、综合杂题 311
第三篇 概率论与数理统计 317
第一章 随机事件与概率 317
考点与要求 317
1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 317
内容精讲 317
例题分析 319
2 概率、条件概率、独立性和五大公式 321
内容精讲 321
例题分析 322
3 古典概型与伯努利概型 327
内容精讲 327
例题分析 328
第二章 随机变量及其概率分布 331
考点与要求 331
1 随机变量及其分布函数 331
内容精讲 331
例题分析 332
2 离散型随机变量和连续型随机变量 333
内容精讲 333
例题分析 334
3 常用分布 335
内容精讲 335
例题分析 338
4 随机变量函数的分布 341
内容精讲 341
例题分析 342
第三章 多维随机变量及其分布 344
考点与要求 344
1 二维随机变量及其分布 344
内容精讲 344
例题分析 346
2 随机变量的独立性 351
内容精讲 351
例题分析 352
3 二维均匀分布和二维正态分布 360
内容精讲 360
例题分析 361
4 两个随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布 363
内容精讲 363
例题分析 364
第四章 随机变量的数字特征 369
考点与要求 369
1 随机变量的数学期望和方差 369
内容精讲 369
例题分析 371
2 矩、协方差和相关系数 378
内容精讲 378
例题分析 379
3 切比雪夫不等式 387
内容精讲 387
例题分析 387
第五章 大数定律和中心极限定理 388
考点与要求 388
内容精讲 388
例题分析 389
第六章 数理统计的基本概念 391
考点与要求 391
1 总体、样本、统计量和样本数字特征 391
内容精讲 391
例题分析 392
2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 394
内容精讲 394
例题分析 396
第七章 参数估计 401
考点与要求 401
1 点估计 401
内容精讲 401
例题分析 401
2 估计量求法 406
内容精讲 406
例题分析 407