数学文化篇 2
1 数学与数学文化 2
1.1 数学的基本特点 2
1.1.1 数学的简洁性 3
1.1.2 数学的抽象性 5
1.1.3 数学的对称性 7
1.1.4 数学的奇异性 10
1.2 数学文化的内涵 12
1.2.1 数学是一种文化 12
1.2.2 什么是数学文化 13
1.3 数学文化在数学教育中的作用和地位 14
1.4 如何把数学文化融入数学教学实践中 16
思考题 20
阅读材料 21
数学历史篇 36
2 古代西方数学 36
2.1 西方古代文明中的数学 36
2.1.1 古埃及的数学 36
2.1.2 古巴比伦的数学 37
2.1.3 古希腊数学产生的背景 38
2.2 论证数学的开始：古希腊数学学派 39
2.2.1 泰勒斯与爱奥尼亚学派 39
2.2.2 毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 40
2.2.3 芝诺和埃利亚学派 42
2.2.4 诡辩学派 43
2.2.5 柏拉图和柏拉图学派 44
2.2.6 原子论学派 45
2.3 希腊亚历山大时期的三大数学家 45
2.3.1 欧几里得 45
2.3.2 阿基米德 46
2.3.3 阿波罗尼奥斯 48
2.4 希腊数学的衰落 49
思考题 51
阅读材料 51
3 中国古代数学 64
3.1 中国古代数学思想的萌芽 64
3.2 中国古代数学思想体系的形成 66
3.2.1 《周髀算经》 66
3.2.2 《九章 算术》 69
3.2.3 刘徽 72
3.2.4 赵爽 79
3.2.5 祖冲之 80
3.3 中国古代数学发展的顶峰 81
3.3.1 秦九韶 82
3.3.2 李冶 83
3.3.3 杨辉 84
3.3.4 朱世杰 85
3.4 中国古代数学的衰落 86
3.5 中国古代数学的文化意义 87
思考题 87
数学内容篇 89
4 代数学的数学思想及文化意义 89
4.1 代数学的萌芽 89
4.2 代数学的确立 91
4.2.1 阿拉伯数学产生的背景 91
4.2.2 花拉子米和《代数学》 92
4.2.3 卡米尔和《代数书》 94
4.2.4 凯拉吉和《发赫里》 95
4.2.5 海亚姆和《代数问题的证明》 97
4.2.6 欧洲文艺复兴时期的代数 98
4.3 代数学的发展 99
4.3.1 符号体系 99
4.3.2 数系的扩充 101
4.3.3 三次、四次方程的解法 102
4.3.4 伽罗瓦理论及群论的发展 104
4.3.5 四元数与向量 110
4.4 线性代数 115
4.4.1 行列式和二次型 115
4.4.2 矩阵 118
4.4.3 线性方程组 121
4.4.4 应用举例 123
4.5 抽象代数 128
思考题 130
阅读材料 130
5 几何学的数学思想及文化意义 138
5.1 几何学的起源 138
5.2 古希腊的几何学 139
5.2.1 古希腊几何学产生的背景 139
5.2.2 古希腊几何学的发展阶段 139
5.2.3 代表作——《几何原本》 140
5.2.4 古希腊“三大作图问题” 142
5.3 解析几何 144
5.3.1 解析几何产生的背景 144
5.3.2 费马的解析几何思想 144
5.3.3 笛卡尔的解析几何思想 145
5.3.4 解析几何的文化价值 148
5.3.5 解析几何应用举例 149
5.4 射影几何 151
5.4.1 射影几何产生的背景 151
5.4.2 射影几何的发展 151
5.4.3 射影几何的繁荣 153
5.4.4 射影几何应用举例 154
5.5 非欧几何 155
5.5.1 非欧几何产生的背景 155
5.5.2 罗氏几何 156
5.5.3 黎曼几何 158
5.5.4 非欧几何的文化价值 159
5.5.5 非欧几何应用举例 159
5.6 微分几何 160
5.6.1 微分几何的产生 160
5.6.2 柯西的工作 161
5.6.3 高斯的工作 162
5.6.4 黎曼的工作 164
5.6.5 微分几何应用举例 166
5.7 拓扑学 167
5.7.1 拓扑学的萌芽 167
5.7.2 拓扑学的发展 172
5.7.3 拓扑学应用举例 174
5.8 代数几何 174
5.8.1 代数几何的发展历程 175
5.8.2 代数几何应用举例 176
思考题 176
6 微积分的数学思想及文化意义 177
6.1 微积分的创立 177
6.1.1 微积分产生的背景 177
6.1.2 微积分的早期思想 178
6.1.3 科学的巨人——牛顿 181
6.1.4 多才多艺的数学大师——莱布尼茨 184
6.2 18世纪微积分的发展 188
6.2.1 欧拉的工作 188
6.2.2 主要成就 189
6.3 19世纪微积分的发展 193
6.3.1 伯克莱的责难 193
6.3.2 分析严格化——柯西的工作 195
6.3.3 分析算术化——魏尔斯特拉斯的工作 197
6.4 常微分方程 200
6.4.1 常微分方程的思想和方法 200
6.4.2 常微分方程应用举例 202
6.5 偏微分方程 206
6.5.1 偏微分方程的思想和方法 206
6.5.2 偏微分方程应用举例 209
6.6 变分法 211
6.6.1 变分法的思想和方法 211
6.6.2 变分法的应用举例 213
6.7 复变函数论 214
6.7.1 复变函数的思想和方法 214
6.7.2 复变函数论应用举例 217
6.8 实变函数论 219
6.8.1 实变函数的思想和方法 219
6.8.2 实变函数论应用举例 221
思考题 222
7 数论的数学思想及文化意义 223
7.1 数论的研究阶段 223
7.2 数论的基本分类 225
7.2.1 初等数论 225
7.2.2 代数数论 230
7.2.3 解析数论 234
7.2.4 几何数论 235
7.3 数论中的数学名题 235
7.3.1 梅森素数和孪生素数 236
7.3.2 费马大定理 239
7.3.3 哥德巴赫猜想 243
7.4 数论的应用价值 247
7.4.1 数论与密码 247
7.4.2 数论知识补充 249
7.4.3 新的密码方法简介 250
思考题 253
阅读材料 253
8 概率论与数理统计的数学思想及文化意义 256
8.1 概率论 256
8.1.1 概率论的产生 256
8.1.2 18世纪的概率论 257
8.1.3 19世纪的概率论 260
8.2 统计学 261
8.2.1 统计学的萌芽 261
8.2.2 统计学的发展 262
8.2.3 统计学的展望 268
8.3 概率论与数理统计应用举例 269
8.3.1 古典概型在福利彩票中的应用 269
8.3.2 大数法则和中心极限定理在保险行业中的应用 271
8.3.3 化妆品销售量的预测 273
8.3.4 决策问题 276
8.3.5 足球门的危险区域 278
8.3.6 小结 283
思考题 283
数学应用篇 285
9 数学建模的数学思想及文化意义 285
9.1 数学模型与数学建模 285
9.1.1 原型与模型 285
9.1.2 数学模型 285
9.1.3 数学建模 287
9.1.4 数学建模的步骤 288
9.2 数学模型的分类与特点 288
9.2.1 数学模型的分类 288
9.2.2 数学模型的特点 290
9.3 数学建模的作用和应用 292
9.3.1 数学建模的作用 292
9.3.2 数学建模的应用 293
9.4 数学建模举例 294
9.5 数学建模的意义 300
思考题 302
10 运筹学的数学思想及文化意义 303
10.1 运筹学的发展历程 303
10.1.1 西方运筹学的发展 303
10.1.2 中国运筹学的发展 305
10.2 运筹学的性质及特点 307
10.3 运筹学研究的内容 308
10.4 运筹学研究的步骤 310
10.5 运筹学应用举例 311
10.6 运筹学的展望 319
思考题 322
11 计算数学的数学思想及文化意义 323
11.1 计算数学的发展历程 323
11.1.1 计算数学的萌芽 323
11.1.2 计算数学的建立 324
11.1.3 计算数学的蓬勃发展 326
11.1.4 计算数学未来的发展 327
11.2 计算数学研究的内容 327
11.2.1 数值计算 327
11.2.2 数值模拟 332
11.3 计算数学应用举例 336
11.4 计算数学的意义 338
思考题 344
12 混沌与分形的数学思想及文化意义 345
12.1 混沌 345
12.1.1 混沌理论产生的背景 345
12.1.2 混沌理论的基本概念 346
12.2 混沌的应用实例 347
12.2.1 混沌与天体运动 347
12.2.2 混沌与生物进化 348
12.3 分形 350
12.3.1 分形理论的发展历程 351
12.3.2 分形的特征 354
12.3.3 分形维数及其计算方法 355
12.4 分形理论的应用 358
12.4.1 分形理论在工程技术中的应用 358
12.4.2 分形理论在物理学中的应用 359
12.4.3 分形理论举例 360
思考题 362
附录 数学学科分类与代码 363
参考文献 366